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南昌县2023-2024学年度第二学期八年级期中考试数学试卷答案

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6.如图4所示,边长为2L的正方形MNPQ内左半部分存在垂直纸面向里的匀强磁场,右半部分存在垂直纸面向外的匀强磁场,两磁场磁感应强度大小相等。边长为L的正方形线框dabc从左向右匀速通过该磁场区域,运动过程中线框始终垂直于磁场且be边始终平行于PQ。规定线框中顺时针为电流的正方向,从ab边刚进入磁场到cd边刚离开磁场的过程,下列图像能正确反映线框中感应电流i随时间t变化的是图4

分析由题意和同角三角函数基本关系可得cosα和cosβ，进而由二倍角公式可得sin2β和cos2β，可得cos（α+2β）的值，缩小角的范围可得．

解答解：∵α，β为锐角，sinα=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，sinβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴cosα=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，cosβ=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴sin2β=2sinβcosβ=$\frac{3}{5}$，cos2β=cos²β-sin²β=$\frac{4}{5}$，
∴cos（α+2β）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}×\frac{4}{5}-\frac{\sqrt{2}}{10}×\frac{3}{5}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
又sinα=$\frac{\sqrt{2}}{10}$＜$\frac{1}{2}$，sinβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$＜$\frac{1}{2}$，
∴0＜α＜$\frac{π}{6}$且0＜β＜$\frac{π}{6}$，
∴0＜α+2β＜$\frac{π}{2}$，∴α+2β=$\frac{π}{4}$，
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及知值求角问题和二倍角公式，缩小角的范围是解决问题的关键，属中档题．