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江西省2024年中考模拟示范卷 JX(六)6数学试卷答案

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13.战绳运动是一项超燃脂的运动,某次健身时,有两位健身者甲、乙分别抓住相同的战绳上下舞动形成向右传播的绳波,如图1所示,若将两列波视为简谐波,从某一时刻开始计时,t=0时两列波的图像如图2所示,P、Q曲线分别为甲、乙的一个绳波,O点为手握的绳子一段,向右为x轴正方向,已知绳波的速度为v=15m/s,试求解下列问题:(1)甲、乙的绳端振动频率和分别为多少?处质点的振动方程,(2)以图2所示为t=0时刻,写出乙运动员的绳中,平衡位置为6m

分析（1）求得已知圆的圆心和半径，设k=$\frac{y}{x}$，即kx-y=0，则圆心到直线的距离d≤r，加上即可得到最值；
（2）x²+y²+2x+3=（x+1）²+y²+2表示点（x，y）与A（-1，0）的距离的平方加上2，连接AC，交圆C于B，延长AC，交圆于D，可得AB最短，AD最长，加上即可得到所求最值．

解答解：（1）圆x²+y²-6x-6y+14=0即为（x-3）²+（y-3）²=4，
可得圆心为C（3，3），半径为r=2，
设k=$\frac{y}{x}$，即kx-y=0，
则圆心到直线的距离d≤r，
即$\frac{|3k-3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤2，
平方得5k²-18k+5≤0，
解得$\frac{9-2\sqrt{14}}{5}$≤k≤$\frac{9+2\sqrt{14}}{5}$，
故$\frac{y}{x}$的最大值是$\frac{9+2\sqrt{14}}{5}$，最小值为$\frac{9-2\sqrt{14}}{5}$；
（2）x²+y²+2x+3=（x+1）²+y²+2
表示点（x，y）与A（-1，0）的距离的平方加上2，
连接AC，交圆C于B，延长AC，交圆于D，
可得AB为最短，且为|AC|-r=$\sqrt{16+9}$-2=3，
AD为最长，且为|AC|+r=5+2=7，
则x²+y²+2x+3 的最大值为7²+2=51，
x²+y²+2x+3的最小值为3²+2=11．

点评本题主要考查直线和圆的方程的应用，根据圆心到直线的距离和半径之间的关系以及连接圆外一点与圆心的直线与圆的交点，取得最值是解决本题的关键．