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皖智教育 安徽第一卷·省城名校2024年中考最后三模(二)2数学试卷答案

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18．已知f（x）对任意x∈[0，+∞），都有f（x+1）=-f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=x，若函数g（x）=f（x）-${log}_{{a}^{（x+1）}}$（0＜a＜1）在区间[0，6]上有3个零点，则实数a的取值范围是（　　）

分析（1）通过代入计算可知g（n）=bⁿ+b^n-1+…+b+1，进而可得结论；
（2）通过（1）及等比数列的求和公式计算即得结论．

解答（1）证明：依题意，g（0）=1，
g（1）=f[g（0）]=f（1）=b+1，
g（2）=f[g（1）]=f（b+1）=b²+b+1，
…，
g（n）=bⁿ+b^n-1+…+b+1，
又∵a_n=g（n）-g（n-1）（n∈N^*），
∴a_n=（bⁿ+b^n-1+…+b+1）-（b^n-1+…+b+1）=bⁿ，
于是数列{a_n}为等比数列；
（2）解：由（1）及b≠1可知S_n=$\frac{b（1-{b}^{n}）}{1-b}$．

点评本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．