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赤峰市高三年级4·20模拟考试试题（2024.04）数学试卷答案

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7．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$过点$（1，\frac{3}{2}）$，且离心率为$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C左顶点为A，动直线l过点P（4，0）且与椭圆C相交于D，E两点（不同于点A），求直线AD与直线AE的斜率之乘积．
（3）在（2）条件下，点D关于x轴的对称点记为F，证明：直线EF过定点，求出定点坐标．

分析由条件求得cosA、cosB的值，再根据cosC=-cos（A+B），利用两角和差的余弦公式计算求得结果．

解答解：三角形ABC中，sinA=$\frac{12}{13}$，cosB=$\frac{4}{5}$，∴sinB=$\frac{3}{5}$，cosB=$\sqrt{{1-sin}^{2}B}$=$\frac{4}{5}$，∴a＞b，
当A为钝角时，cosA=-$\sqrt{{1-sin}^{2}A}$=-$\frac{5}{13}$，
∴cosC=-cos（A+B）=-[cosAcosB-sinAsinB]=-[-$\frac{5}{13}$•$\frac{4}{5}$-$\frac{12}{13}$•$\frac{3}{5}$]=$\frac{56}{65}$．
当A为锐角，cosA=$\sqrt{{1-sin}^{2}A}$=$\frac{5}{13}$，
 cosC=-cos（A+B）=-[cosAcosB-sinAsinB]=-[$\frac{5}{13}$•$\frac{4}{5}$-$\frac{12}{13}$•$\frac{3}{5}$]=$\frac{16}{65}$，
故答案为：$\frac{56}{65}$ 或$\frac{16}{65}$．

点评本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式、两角和差的余弦公式的应用，属于中档题．