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2024届重庆市高学业质量调研抽测(第二次)数学试卷答案

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12．有四个关于三角函数的命题：
p₁：?x∈R，sin²$\frac{x}{2}$+cos²$\frac{x}{2}$=1
p₂：?x、y∈R，cos（x-y）=cosx-cosy
p₃：?x∈[0，π]，$\sqrt{\frac{1-cos2x}{2}}$=sinx
p₄：?x∈R，tanx=cosx
其中真命题的个数是（　　）

分析△FAB面积等于△AOF和△BOF的面积之和，设A到x轴的距离为h，则△FAB面积等于$\frac{1}{2}$×c×2h=ch，由此能求出△FAB面积的最大值．

解答解：∵AB是过椭圆b²x²+a²y²=a²b²的中心弦，F（c，0）为它的右焦点，
∴椭圆b²x²+a²y²=a²b²的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），
∴△FAB面积等于△AOF 和△BOF的面积之和，
设A到x轴的距离为h，由AB为过椭圆中心的弦，则B到x轴的距离也为h，
∴△AOF 和△BOF的面积相等，
∴△FAB面积等于$\frac{1}{2}$×c×2h=ch，又h的最大值为b，
∴△FAB面积的最大值是bc，
故答案为：bc．

点评本题考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．