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2024届长沙市一中高三月考试卷（七）数学试卷答案

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14.(12分)如图所示,假设某火箭起飞后一直竖直向上运动,起飞时推力大小约1.210^6N,火箭起飞质量为5.010^4kg,,地面附近重力加速度为10m/s^2,,地球半径约为6400km;火箭到达200km时,一节、二节推进器已经先后脱落,火箭质量变为3.310^3kg,,推力大小减为6.510^4N。若空气阻力及短时间内消耗燃料的质量均可忽略不计,已知(3233)^20.940,求:(1)火箭起飞后前700m的运动时间;(2)火箭运动到200km时的加速度大小(计算结果保留3位有效数字)。

分析（1）化简得f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx-$\frac{1}{2}$=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，由直线y=$\frac{1}{2}$与f（x）的图象交点之间最短距离为π可知f（x）周期为π，求出ω，结合正弦函数单调性求出
f（x）的单调增区间；
（2）由（2a-c）cosB=bcosC得2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，整理得cosB=$\frac{1}{2}$，于是B=$\frac{π}{3}$，由A的范围得出2A-$\frac{π}{6}$的范围，从而求出f（A）的范围．

解答解；（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-sin²ωx+2sin²ωx-1
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx-$\frac{1}{2}$=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
∵直线y=$\frac{1}{2}$与f（x）的图象交点之间最短距离为π，
∴f（x）的周期T=π，即$\frac{2π}{2ω}$=π，∴ω=1．
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$．
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，
∴f（x）的单调递增区间是[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]，k∈Z．
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
即2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=$\frac{1}{2}$，∴B=$\frac{π}{3}$．
f（A）=sin（2A-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$．∴$-\frac{π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
∴当2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，f（A）取得最大值$\frac{1}{2}$，
当2A-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$或2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$时，f（x）取得最小值-1．
∴f（A）的取值范围是（-1，$\frac{1}{2}$]．

点评本题考查了三角函数的恒等变换和性质，确定A的范围是关键．