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黑龙江省2023-2024学年高一月考(24507A)数学试卷答案

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3.α粒子散射可以用来估算核半径。对于一般的原子核,实验确定的核半径的数量级为10^-15m,而整个原子半径的数量级是10^-10m,,两者相差十万倍之多。可见原子内部是十分“空旷”的。如果把原子放大为直径是100m的球,原子核的大小相当于下列哪个物体A.一粒小米C.一个乒乓球B.一粒葡萄D.一个篮球(材料来源:选择性必修三,P82)

分析（I）由椭圆参数方程可得：1=a$cos\frac{π}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$=b$sin\frac{π}{4}$，解得a，b．可得曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，化为直角坐标方程，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为极坐标方程．
（II）直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}\right.$（t为参数），代入曲线C的方程，利用根与系数的关系可得：|PA|•|PB|=-t₁t₂，进而得出．

解答解：（I）由曲线C的参数方程：$\left\{{\begin{array}{l}{x=acosα}\\{y=bsinα}\end{array}}$（α为参数），可得：1=a$cos\frac{π}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$=b$sin\frac{π}{4}$，解得a=$\sqrt{2}$，b=1．
∴曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，其直角坐标方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1，可得ρ²cos²θ+2ρ²sin²θ=2．
（II）直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}\right.$（t为参数），代入曲线C的方程可得：（1+sin²θ）t²+2tcosθ-1=0，
∴|PA|•|PB|=-t₁t₂=$\frac{1}{1+si{n}^{2}θ}$∈[$\frac{1}{2}$，1]．

点评本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、椭圆的参数直角方程极坐标方程的互化及其应用、直线的参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．