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炎德英才大联考 湖南师大附中2023-2024学年度高一第二学期第一次大练习数学试卷答案
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(5有多种同分异构体,同时满足下列条件的同分异构体有种。①分子中含有苯环。②分子中含有2个CH2OH。写出其中一种核磁共振氢谱中峰面积之比为4:3:2:2:1的同分异构体的结构简式
分析(Ⅰ)运用当n=1时,a1=S1,当n>1时,an=Sn-Sn-1,化简整理,即可得到所求通项;
(Ⅱ)运用等差数列的定义,即可得证;
(Ⅲ)运用等比数列的通项公式可得bn,再由数列的求和方法:错位相减法,结合等比数列的求和公式,化简整理,即可得到所求和.
解答解:(Ⅰ)当n>1时,an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n,
当n=1时,a1=S1=2,符合上式.
综上,an=2n,n∈N*;
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知an=2n,
则an+1=2(n+1),
故an+1-an=2(n+1)-2n=2,
∴数列{an}是以2为首项,2为公差的等差数列;
(Ⅲ)∵数列{bn}是首项为1,公比为$\frac{1}{2}$的等比数列,
∴bn=($\frac{1}{2}$)n-1;
故数列{an•bn}的前n项和Tn=2•1+4•$\frac{1}{2}$+6•$\frac{1}{4}$+…+2n•($\frac{1}{2}$)n-1,
$\frac{1}{2}$Tn=2•$\frac{1}{2}$+4•$\frac{1}{4}$+6•$\frac{1}{8}$+…+2n•($\frac{1}{2}$)n,
两式相减可得,$\frac{1}{2}$Tn=2(1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+($\frac{1}{2}$)n-1)-2n•($\frac{1}{2}$)n
=2•$\frac{1-(\frac{1}{2})^{n}}{1-\frac{1}{2}}$-2n•($\frac{1}{2}$)n,
化简可得,前n项和Tn=8-(8+4n)•($\frac{1}{2}$)n.
点评本题考查等差数列的定义和通项公式,考查数列的求方法:错位相减法,同时考查等比数列的通项公式和求和公式的运用,属于中档题.
炎德英才大联考 湖南师大附中2023-2024学年度高一第二学期第一次大练习数学