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陕西省2023-2024高一质量检测(▲)数学试卷答案

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2.细胞膜作为细胞的一个重要组成,其部分功能如图所示,其中③为一种特殊的结构胞间连丝。据图分析,下列叙述错误的是A.功能①有利于保障细胞内部环境的相对稳定B.胰岛素调控生命活动可用图中功能②表示C.功能③主要是高等植物细胞间的一种信息交流的方式D.功能④可以确保对细胞有害的物质都不能进入细胞中

分析（Ⅰ）分别求出g（x），h（x）的导数，求得切线的斜率，切点，再由点斜式方程可得切线的方程，再由两直线平行间的距离，计算即可得到所求；
（Ⅱ）任意x＞0，不等式h（x）≥g（x）恒成立，即为x²-mx-lnx≥0，由x＞0，可得m≤x-$\frac{lnx}{x}$，设F（x）=x-$\frac{lnx}{x}$，求出导数，讨论x＞1，0＜x＜1导数的符号，判断单调性，可得最小值，即可得到m的范围．

解答解：（Ⅰ）m=-1时，h（x）=x²+x的导数为h′（x）=2x+1，
g（x）=lnx的导数为g′（x）=$\frac{1}{x}$，
由题意可得2x₀+1=$\frac{1}{{x}_{0}}$，解得x₀=$\frac{1}{2}$（-1舍去），
即有h（x）在x=$\frac{1}{2}$处的切线的方程为y-$\frac{3}{4}$=2（x-$\frac{1}{2}$），即为2x-y-$\frac{1}{4}$=0；
g（x）在x=$\frac{1}{2}$处的切线的方程为y-ln$\frac{1}{2}$=2（x-$\frac{1}{2}$），即为2x-y-1-ln2=0．
则两切线间的距离为d=$\frac{|1+ln2-\frac{1}{4}|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{（3+4ln2）\sqrt{5}}{20}$；
（Ⅱ）任意x＞0，不等式h（x）≥g（x）恒成立，
即为x²-mx-lnx≥0，由x＞0，可得m≤x-$\frac{lnx}{x}$，
设F（x）=x-$\frac{lnx}{x}$，F′（x）=1-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-1+lnx}{{x}^{2}}$，
当x＞1时，F′（x）＞0，F（x）递增；当0＜x＜1时，F′（x）＜0，F（x）递减．
即有x=1处取得极小值，且为最小值1，
则有m≤1，即m的取值范围是（-∞，1]．

点评本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数运用单调性求最值，考查运算能力，属于中档题．