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2023~2024全国名校高二下学期第二次月考试卷数学试卷答案

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12.南京大学某教授提出了一种利用锂一二氧化碳二次电池高效固碳的新技术(原理如图)。下列说法不正确的是聚合物电解质膜A.该电池放电时,CO2在正极上发生反应B.该电池充电时,电极A为阳极C.该电池充电时,阴极发生还原反应D.电解液不可选用水溶液

分析根据“等差”向量的定义得出$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$），即B是线段AC的中点，判断①正确；
根据B是线段AC的中点，结合“等差”向量定义，即可判断②正确；
根据点B是线段AC的中点，结合平面向量的运算法则与“等比”向量的定义，判断③错误；
根据余弦定理求出∠AOC的大小，利用点到直线的距离以及“等比”向量的概念，判断④正确．

解答解：对于①，若$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$依次成“等差”向量，则$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$），即点B是线段AC的中点，①正确；
对于②，若点B是线段AC的中点，则$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$），
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OB}$，即$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$依次成“等差”向量，②正确；
对于③，若点B是线段AC的中点，则$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$），
∵＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$＞∈（0，π），∴cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$＞＜1，
∴${\overrightarrow{OB}}^{2}$=$\frac{1}{4}$（${\overrightarrow{OA}}^{2}$+2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$+${\overrightarrow{OC}}^{2}$）≥$\frac{1}{4}$（2|$\overrightarrow{OA}$|×|$\overrightarrow{OC}$|+2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$）
＞$\frac{1}{4}$（|$\overrightarrow{OA}$|×|$\overrightarrow{OC}$|cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$＞+2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$，
∴$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$不可能依次成“等比”向量，③错误；
对于④，∵|$\overrightarrow{OA}$|=5，|$\overrightarrow{OC}$|=8，|$\overrightarrow{AC}$|=7，
∴cos∠AOC=$\frac{{5}^{2}{+8}^{2}{-7}^{2}}{2×5×8}$=$\frac{1}{2}$，∴∠AOC=60°；
又点O到直线AC的距离d=$\frac{5×8sin60°}{7}$=$\frac{20\sqrt{3}}{7}$，
且点B在直线AC上，∴|$\overrightarrow{OB}$|≥$\frac{20\sqrt{3}}{7}$；
若$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$依次成“等比”向量，则${\overrightarrow{OB}}^{2}$=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$=5×8×$\frac{1}{2}$=20，
又|$\overrightarrow{OB}$|=2$\sqrt{5}$＜$\frac{20\sqrt{3}}{7}$，
∴$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$不可能依次成“等比”向量，④正确．
故答案为：①②④．

点评本题考查了新定义的平面向量的应用问题，也考查了直线方程与等差等比数列的应用问题，考查了余弦定理的应用问题，考查了分析问题与解答问题的能力，是综合性题目．