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吉林、黑龙江2024届高三年级3月联考（半瓶水瓶）数学试卷答案

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4.如图甲所示,长木板静止在光滑水平地面上,质量为m的滑块以水平初速度v0,由木板左端恰能滑至木板的右端与木板相对静止。若将木板分成长度相等的两段(如图乙),滑块仍以初速度v0,从木板左端开始滑动,滑块运动过程中所受摩擦力不变,则下列分析正确的是()A.两过程滑块的动量变化相同B.两过程系统产生的热量相等C.滑块滑到木板的右端后飞离木板D.滑块滑到木板的右端前就与木板保持相对静止

分析设g（x）=（x-2）lnx，h（x）=ax-1，问题转化为存在唯一的整数x₀使得g（x₀）在直线y=ax-1的下方，求导数判断单调性，数形结合可得g（1）≥h（1）=a-1且h（3）=3a-1≤g（3）=ln3，h（2）＞g（2），解关于a的不等式组可得．

解答解：设g（x）=（x-2）lnx，h（x）=ax-1，
由题意知存在唯一的整数x₀使得g（x₀）在直线y=h（x）=ax-1的下方，
∵g′（x）=lnx+1-$\frac{2}{x}$，
∴当x≥2时，g′（x）＞0，当0＜x≤1时，g′（x）＜0，
当x=1时，g（1）=0，当x=1时，h（1）=a-1＜0，即a≤1．
直线y=ax-1恒过定点（0，-1）且斜率为a，
由题意结合图象可知，存在唯一的整数x₀=2，f（x₀）＜0，
故h（2）=2a-1＞g（2）=0，h（3）=3a-1≤g（3）=ln3，解得$\frac{1}{2}$＜a≤$\frac{1+ln3}{3}$．
故选：B．

点评本题考查导数的运用：判断单调性，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．