天壹名校联盟2024年上学期高二入学摸底考试数学试题答案 (更新中)

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试题答案

天壹名校联盟2024年上学期高二入学摸底考试数学试卷答案

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天壹名校联盟2024年上学期高二入学摸底考试数学

5.如图所示,在冰上芭蕾舞表演中,演员展开双臂单脚点地做着优美的旋转动作,在将双臂逐渐放下的过程中,演员转动的速度会逐渐变快,则演员肩上某点随之转动的A.转速变小CB.周期变大C.线速度变大D.角速度变小

分析(Ⅰ)根据点的坐标和离心率,即可求出椭圆的方程,
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线l:y=kx+m,构造方程组,消元,根据韦达定理,和弦长公式,以及点到直线的距离公式,以及三角形的面积公式,得到2|m|$\sqrt{1+4{k}^{2}-{m}^{2}}$=1+4k2,再根据中点坐标公式得到P点的坐标,继而得到$\frac{1}{2}$xP2+2yP2=1,假设存在M(s,0),N(t,0),(s≠t),运用斜率公式,计算化简整理,利用定值思想,可得s+t=0,st=-2,求得s,t,进而得到定值.

解答解:(Ⅰ)∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴e2=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$,
∴a2=4b2,即a=2b,
∵经过点($\sqrt{3}$,$\frac{1}{2}$),
∴$\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4{b}^{2}}$=1,
解得a=2,b=1,
∴$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1;
(II)解:设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线l:y=kx+m,
联立方程组,得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$,消元得到(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
由韦达定理知,x1+x2=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$,x1x2=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$,
由弦长公式知|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x1-x2|=$\frac{4\sqrt{{k}^{2}+1}•\sqrt{4{k}^{2}+1-{m}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$,
原点到直线l的距离为d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$,
假设存在两定点为A(s,0),B(t,0),
因此S△OAB$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{2|m|\sqrt{4{k}^{2}+1-{m}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$=1,
∴2|m|$\sqrt{1+4{k}^{2}-{m}^{2}}$=1+4k2
令1+4k2=n,
∴2|m|$\sqrt{n-{m}^{2}}$=n,
∴4m4-4m2n+n2=0,
即n=2m2
即1+4k2=2m2,①
又P为线段AB的中点,xP=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{-4km}{1+4{k}^{2}}$,yP=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{m}{1+4{k}^{2}}$,
因此,xP=$\frac{-2k}{m}$,yP=$\frac{1}{2m}$,
因此,$\frac{1}{2}$xP2+2yP2=1,
假设存在M(s,0),N(t,0),(s≠t),
那么kPM=$\frac{{y}_{p}}{{x}_{P}-s}$(xp≠s),kPN=$\frac{{y}_{P}}{{x}_{P}-t}$(xp≠t),
∴kPM•kPN=$\frac{1}{2}$•$\frac{1-\frac{{{x}_{P}}^{2}}{2}}{{{x}_{P}}^{2}-(s+t){x}_{P}+st}$=-$\frac{1}{4}$•$\frac{{{x}_{P}}^{2}-2}{{{x}_{P}}^{2}-(s+t){x}_{P}+st}$,
当s+t=0,st=-2时,kPM•kPN=-$\frac{1}{4}$,
解得s=$\sqrt{2}$,t=-$\sqrt{2}$,
故在x轴上存在两个定点M($\sqrt{2}$,0),N(-$\sqrt{2}$,0)使得直线PM与直线PN的斜率之积为定值.

点评本题考查椭圆的定义、方程和性质,主要考查椭圆的定义和方程的运用,同时考查存在性问题的解决方法,注意运用点满足方程,以及直线的斜率公式及恒成立思想,属于难题.

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话题:
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