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安康市2023届高三年级第一次质量联考试卷(12月)数学试卷答案
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9．直角坐标系中，点$（1，-\sqrt{3}）$的极坐标可以是（ ）
| A． | $（2，\frac{4π}{3}）$ | B． | $（2，\frac{5π}{3}）$ | C． | $（2，\frac{5π}{6}）$ | D． | $（2，\frac{11π}{6}）$ |
分析（1）由已知可得数列递推式${a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$，取倒数后构造等比数列{$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}$}，由等比数列的通项公式求得数列{an}的通项公式；
（2）把数列{an}的通项公式代入bn=$\frac{{3}^{n}}{2}$anan+1，整理后利用裂项相消法求Sn，放缩得答案．
解答证明：（1）由已知${a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$，取倒数得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{3}{{a}_{n}}+1$，
变形得$\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{2}=3（\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}）$．
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}$}是首项为$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，公比为3的等比数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}•{3}^{n-1}=\frac{1}{2}•{3}^{n}$，
∴${a}_{n}=\frac{2}{{3}^{n}-1}$；
（2）bn=$\frac{{3}^{n}}{2}$anan+1=$\frac{2•{3}^{n}}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{3}^{n}-1}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$．
∴Sn=b1+b2+…+bn=$（\frac{1}{{3}^{1}-1}-\frac{1}{{3}^{2}-1}）+（\frac{1}{{3}^{2}-1}-\frac{1}{{3}^{3}-1}）+…+（\frac{1}{{3}^{n}-1}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}）$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}＜\frac{1}{2}$．
点评本题考查数列的函数特性，考查了数列递推式，考查等比关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．
