安康市2023届高三年级第一次质量联考试卷(12月)数学试题答案(更新中)

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试题答案

安康市2023届高三年级第一次质量联考试卷(12月)数学试卷答案

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9.直角坐标系中,点$(1,-\sqrt{3})$的极坐标可以是(  )

A.$(2,\frac{4π}{3})$B.$(2,\frac{5π}{3})$C.$(2,\frac{5π}{6})$D.$(2,\frac{11π}{6})$

分析(1)由已知可得数列递推式${a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$,取倒数后构造等比数列{$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}$},由等比数列的通项公式求得数列{an}的通项公式;
(2)把数列{an}的通项公式代入bn=$\frac{{3}^{n}}{2}$anan+1,整理后利用裂项相消法求Sn,放缩得答案.

解答证明:(1)由已知${a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$,取倒数得:$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{3}{{a}_{n}}+1$,
变形得$\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{2}=3(\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2})$.
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}$}是首项为$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$,公比为3的等比数列,
∴$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}•{3}^{n-1}=\frac{1}{2}•{3}^{n}$,
∴${a}_{n}=\frac{2}{{3}^{n}-1}$;
(2)bn=$\frac{{3}^{n}}{2}$anan+1=$\frac{2•{3}^{n}}{({3}^{n}-1)({3}^{n+1}-1)}$=$\frac{1}{{3}^{n}-1}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$.
∴Sn=b1+b2+…+bn=$(\frac{1}{{3}^{1}-1}-\frac{1}{{3}^{2}-1})+(\frac{1}{{3}^{2}-1}-\frac{1}{{3}^{3}-1})+…+(\frac{1}{{3}^{n}-1}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1})$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}<\frac{1}{2}$.

点评本题考查数列的函数特性,考查了数列递推式,考查等比关系的确定,训练了裂项相消法求数列的和,是中档题.

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安康市2023届高三年级第一次质量联考试卷(12月)数学
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