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昆明市第一中学2024届高中新课标高三第八次考前适应性训练数学试卷答案

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14.(12分)港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程,位于中国广东省珠港、、珠每域内,桥隧全长55km,其中主桥长29.6km,香港口岸至珠澳口岸41.6km;桥面为双向六车道高速公路,设计速度100km/h;有辆小轿车从香港口岸由静止出发,先以100km/h;2m/s^22m/s²的加速度做匀加速直线运动了10s,之后一直保持匀速运动状态,求这辆轿车驶至珠澳口岸需多少分钟。

分析（1）利用差角公式和将次公式展开，再用两角和的正弦公式化成f（x）=Asin（ωx+φ）形式，求出最大值即对应的x；
（2）求出f（x）的减区间，再求减区间与[一$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]的交集即可．

解答解：（1）f（x）=sinx•cos（x-$\frac{π}{6}$）+cos²x-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx+$\frac{1}{2}$sin²x+cos²x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos²x=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{1}{4}$cos2x+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$．
∴f（x）的最大值是$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
令2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，解得x=$\frac{π}{6}$+kπ．
∴当f（x）取得最大值时x的取值集合是{x|x=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z}．
（2）令$\frac{π}{2}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}+2kπ$，
解得$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，即f（x）的单调递减区间是[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈Z．
当k=0时，[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]∩[一$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]=[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
当k=-1时，[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]∩[一$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]=∅，
当k=1时，[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]∩[一$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]=∅，
∴f（x）在[一$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上的减区间是[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]．

点评本题考查了三角函数的恒等变换及性质，对函数进行化简是解题关键．