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重庆市七校2024届高三3月联考数学试卷答案

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13．设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于这条抛物线的焦点处，当此彗星离地球为d万千米时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为30°，求这颗彗星与地球的最短距离．

分析（1）由a=0，解方程log₂x+2=0，可得零点；
（2）求得f（1）＞0，f（$\frac{1}{8}$）＜0，判断f（x）的单调性，再由零点存在定理，即可判断零点的个数．

解答解：（1）当a=0时，f（x）=log₂x+2=0，即log₂x=-2，
解得$x={2^{-2}}=\frac{1}{4}$，
∴函数f（x）的零点是$x=\frac{1}{4}$；
（2）当a=1时，f（x）=log₂x+x+2，
∵f（1）=（log₂1+1+2）=3＞0，$f（\frac{1}{8}）=（{log_2}\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+2）=-\frac{7}{8}＜0$，
且f（x）的图象在定义域内连续，
∴f（x）在区间$（\frac{1}{8}，1）$内有一个零点，
又∵f（x）在定义域内单调递增，
故f（x）在定义域内恰有一个零点．

点评本题考查函数的零点的求法和判断，注意运用方程的思想和函数零点存在定理，考查运算能力，属于中档题．