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2024届押题01数学试卷答案

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5．已知直线l₁，l₂的方程分别是l₁：A₁x+B₁y+C₁=0（A₁，B₂不同时为0），l₂：A₂x+B₂y+C₂=0（A₁、B₂不同时为0），且A₁A₂+B₁B₂=0，求证：l₁⊥l₂．

分析（1）设双曲线标准方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞0，b＞0），由已知条件利用待定系数法能求出双曲线方程．
（2）当双曲线焦点坐标在x轴上时，设双曲线标准方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞0，b＞0），当双曲线焦点坐标在y轴上时，设双曲线标准方程$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞0，b＞0），由已知条件利用待定系数法能求出双曲线方程．

解答解：（1）设双曲线标准方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞0，b＞0），
∵虚轴长为12，离心率为$\frac{5}{4}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2b=12}\\{\frac{c}{a}=\frac{5}{4}}\\{{c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=8，b=6，c=10，
∴双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{64}-\frac{{x}^{2}}{36}=1$．
（2）当双曲线焦点坐标在x轴上时，设双曲线标准方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞0，b＞0），
∵顶点间的距离为4，渐近线方程为$y=±\frac{1}{2}x$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=4}\\{\frac{b}{a}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
∴双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$．
当双曲线焦点坐标在y轴上时，设双曲线标准方程$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞0，b＞0），
∵顶点间的距离为4，渐近线方程为$y=±\frac{1}{2}x$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=4}\\{\frac{a}{b}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=4，
∴双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{16}$=1．
综上，所求双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}$=1或$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{16}=1$．

点评本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质和待定系数法的合理运用．