2024届押题01数学试题答案 (更新中)

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试题答案

2024届押题01数学试卷答案

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5.已知直线l1,l2的方程分别是l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B2不同时为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A1、B2不同时为0),且A1A2+B1B2=0,求证:l1⊥l2

分析(1)设双曲线标准方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1,(a>0,b>0),由已知条件利用待定系数法能求出双曲线方程.
(2)当双曲线焦点坐标在x轴上时,设双曲线标准方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1,(a>0,b>0),当双曲线焦点坐标在y轴上时,设双曲线标准方程$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1,(a>0,b>0),由已知条件利用待定系数法能求出双曲线方程.

解答解:(1)设双曲线标准方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1,(a>0,b>0),
∵虚轴长为12,离心率为$\frac{5}{4}$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{2b=12}\\{\frac{c}{a}=\frac{5}{4}}\\{{c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}}\end{array}\right.$,解得a=8,b=6,c=10,
∴双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{64}-\frac{{x}^{2}}{36}=1$.
(2)当双曲线焦点坐标在x轴上时,设双曲线标准方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1,(a>0,b>0),
∵顶点间的距离为4,渐近线方程为$y=±\frac{1}{2}x$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=4}\\{\frac{b}{a}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$,解得a=2,b=1,
∴双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$.
当双曲线焦点坐标在y轴上时,设双曲线标准方程$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1,(a>0,b>0),
∵顶点间的距离为4,渐近线方程为$y=±\frac{1}{2}x$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=4}\\{\frac{a}{b}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$,解得a=2,b=4,
∴双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{16}$=1.
综上,所求双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}$=1或$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{16}=1$.

点评本题考查双曲线方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意双曲线性质和待定系数法的合理运用.

2024届押题01数学
话题:
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