2024年衡水名师卷高考模拟信息卷(一)数学试题答案 (更新中)

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试题答案

2024年衡水名师卷高考模拟信息卷(一)数学试卷答案

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2024年衡水名师卷高考模拟信息卷(一)数学

7.小球在空中自由下落,无风条件下,小球受到的空气阻力大小与其下落速度大小的平方成正比。一小球从某一高处由静止竖直下落至地面的过程中,位移大小为x,,速度大小为v,加速度大小为a1,重力势能为Ep,,动能为Ek,,下落时间为t0,取地面为零势能面,则下列

分析根据已知,求出函数f(x)的值域可判断①;分析函数g(x)在[0,1]上的单调性,可判断②;判断方程f(x)=g(x)在区间[0,1]上解的个数,可判断③;分析出满足:?x1∈R,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立时实数a的取值范围,可判断④.

解答解:当x≥1时,函数f(x)=$\frac{4}{3}$•$\frac{|x-1|}{{x}^{2}+3}$=$\frac{4}{3}•\frac{x+1}{{x}^{2}+3}$,f′(x)=$\frac{4}{3}•\frac{{-(x}^{2}-2x-3)}{{{(x}^{2}+3)}^{2}}$,
1≤x≤3时,f′(x)≥0,x≥3时,f′(x)≤0,故当x=3时,f(x)取极大值$\frac{2}{9}$,故此时f(x)∈[0,$\frac{2}{9}$],
当x≤1时,函数f(x)=$\frac{4}{3}$•$\frac{|x-1|}{{x}^{2}+3}$=$\frac{4}{3}•\frac{1-x}{{x}^{2}+3}$,f′(x)=$\frac{4}{3}•\frac{{x}^{2}-2x-3}{{(x}^{2}+3)^{2}}$
-1≤x≤1时,f′(x)≤0,x≤-1时,f′(x)≥0,故当x=-1时,f(x)取极大值$\frac{2}{3}$,故此时f(x)∈[0,$\frac{2}{3}$],
综上可得:函数f(x)的值域为[0,$\frac{2}{3}$];故①正确;
当x∈[0,1]时,$\frac{π}{3}$x+$\frac{3}{2}$π∈[$\frac{3}{2}$π,$\frac{11π}{6}$],此时函数g(x)为增函数,故②正确;
x∈[0,1]时,f(x)=$\frac{4}{3}•\frac{1-x}{{x}^{2}+3}$,f′(x)=$\frac{4}{3}•\frac{{x}^{2}-2x-3}{{(x}^{2}+3)^{2}}$<0,故f(x)为减函数,
由f(0)=$\frac{4}{9}$,f(1)=0,可得f(x)∈[0,$\frac{4}{9}$],
而g(0)=-3a+2,g(1)=$-\frac{5}{2}$a+2,故g(x)∈[-3a+2,$-\frac{5}{2}$a+2],
当$-\frac{5}{2}$a+2≥0,即a≤$\frac{4}{5}$时,方程f(x)=g(x)有解,
当$-\frac{5}{2}$a+2<0,即a>$\frac{4}{5}$时,方程f(x)=g(x)无解,故③错误;
若?x1∈R,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,
则$-\frac{5}{2}$a+2≥0,且-3a+2≤$\frac{2}{3}$;
解得:$\frac{4}{9}$≤a≤$\frac{4}{5}$.故④正确;
故答案为:①②④,
故答案为:①②④

点评本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了函数的值域,函数恒成立问题,方程的根,函数的单调性,难度中档.

2024年衡水名师卷高考模拟信息卷(一)数学
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