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江南十校2024届高三年级第一次联考数学试卷答案

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8.某无色溶液只含下表离子中的几种,且各离子的物质的量浓度相等(不考虑水的电离与子水解)。某同学进行了如图实验(必要时可加热):下列说法正确的是A.加入过量Ba(NO)后,溶液颜色发生变化,气体A一定有颜色Ba(NO3)2B.沉淀A为白色沉淀,沉淀C为红褐色沉淀C.滤液A和滤液B中含有相同的阳离子Ba²、ABa^2+、Al^3+D.原溶液中只含有K^+、I^-、AlO2^-、Na^+全国卷

分析（1）将已知方程转化为一般式方程，然后由根与系数的关系来求a的值；
（2）利用根与系数的关系和对数的运算性质将|lgα-lgβ|≤2$\sqrt{3}$转化为关于a的不等式，通过解不等式求得a的取值范围．

解答解：由方程（lga+lgx）•（lga+2lgx）=4有两个小于1的正根α，β，得
2lg²x+3lgalgx+lg²a-4=0．
（1）∵α，β是方程（lga+lgx）•（lga+2lgx）=4，即2lg²x+3lgalgx+lg²a-4=0的两个正根，
∴lgα+lgβ=-$\frac{3}{2}$lga=-$\frac{9}{2}$，
∴lga=3，
则a=1000；
（2）∵lgα+lgβ=-$\frac{3}{2}$lga，lgα•lgβ=$\frac{l{g}^{2}a-4}{2}$，
∴|lgα-lgβ|²=（lgα+lgβ）²-4lgα•lgβ≤12，
∴$\frac{9}{4}$lg²a-2lg²a+8≤12，
解得-4≤lga≤4，
又∵方程（lga+lgx）•（lga+2lgx）=4有两个小于1的正根α，β，
∴lga＞0且lgα•lgβ=$\frac{l{g}^{2}a-4}{2}$＞0，
解得lga＞2，
∴2＜lga≤4
∴实数a的取值范围是（100，10000]．

点评本题考查了对数的运算性质和根的存在性及根的个数判断．还考查运算能力，属于中档题．