江西省2023-2024学年高二年级下学期2月联考数学试题答案 (更新中)

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试题答案

江西省2023-2024学年高二年级下学期2月联考数学试卷答案

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19.设正项数列{an}的前n项和为Sn,并且对于所有的正整数n,an与1的等差中项等于Sn与1的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}的通项公式bn=ln(1+$\frac{1}{{a}_{n}}$),记Tn是{bn}的前n项和,试比较Tn与$\frac{1}{2}$lnan+1的大小并证明你的结论.

分析(1)设P(x,y),由条件运用两点的距离公式,化简整理,即可得到所求轨迹方程;
(2)联立直线方程和圆的方程,运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示,结合基本不等式,即可得到最小值.

解答解:(1)设P(x,y),由题意可得$\frac{|PO|}{|PA|}$=$\frac{1}{2}$,
即为2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{(x-3)^{2}+{y}^{2}}$,
化简可得x2+y2+2x-3=0,
曲线C的方程为圆(x+1)2+y2=4;
(2)将直线y=kx-2代入圆的方程,
可得(1+k2)x2+(2-4k)x+1=0,
判别式为(2-4k)2-4(1+k2)>0,由k<-2,显然成立;
设A(x1,y1),B(x2,y2),
可得x1+x2=$\frac{4k-2}{1+{k}^{2}}$,x1x2=$\frac{1}{1+{k}^{2}}$,
即有y1y2=(kx1-2)(kx2-2)
=k2x1x2-2k(x1+x2)+4=$\frac{4+4k-3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$,
则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x1x2+y1y2=$\frac{5+4k-3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$
=-3+$\frac{4(2+k)}{1+{k}^{2}}$,可令2+k=t(t<0),
可得$\frac{4(2+k)}{1+{k}^{2}}$=$\frac{4t}{{t}^{2}-4t+5}$=$\frac{4}{t+\frac{5}{t}-4}$,
由t+$\frac{5}{t}$≤-2$\sqrt{t•\frac{5}{t}}$=-2$\sqrt{5}$.
当且仅当t=-$\sqrt{5}$,即k=-2-$\sqrt{5}$,等号成立.
即有$\frac{4}{t+\frac{5}{t}-4}$≥$\frac{4}{-2\sqrt{5}-4}$=4-2$\sqrt{5}$,
则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$≥1-2$\sqrt{5}$.
故当k=-2-$\sqrt{5}$时,$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$取得最小值1-2$\sqrt{5}$.

点评本题考查曲线方程的求法,注意运用代入法,考查直线和圆的位置关系,注意联立直线和圆的方程,运用韦达定理,同时考查向量数量积的坐标表示,考查运算能力,属于中档题.

江西省2023-2024学年高二年级下学期2月联考数学
话题:
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