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江西省2023-2024学年高二年级下学期2月联考数学试卷答案

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19．设正项数列{a_n}的前n项和为S_n，并且对于所有的正整数n，a_n与1的等差中项等于S_n与1的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的通项公式b_n=ln（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$），记T_n是{b_n}的前n项和，试比较T_n与$\frac{1}{2}$lna_n+1的大小并证明你的结论．

分析（1）设P（x，y），由条件运用两点的距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹方程；
（2）联立直线方程和圆的方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，结合基本不等式，即可得到最小值．

解答解：（1）设P（x，y），由题意可得$\frac{|PO|}{|PA|}$=$\frac{1}{2}$，
即为2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$，
化简可得x²+y²+2x-3=0，
曲线C的方程为圆（x+1）²+y²=4；
（2）将直线y=kx-2代入圆的方程，
可得（1+k²）x²+（2-4k）x+1=0，
判别式为（2-4k）²-4（1+k²）＞0，由k＜-2，显然成立；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=$\frac{4k-2}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{1}{1+{k}^{2}}$，
即有y₁y₂=（kx₁-2）（kx₂-2）
=k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=$\frac{4+4k-3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{5+4k-3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$
=-3+$\frac{4（2+k）}{1+{k}^{2}}$，可令2+k=t（t＜0），
可得$\frac{4（2+k）}{1+{k}^{2}}$=$\frac{4t}{{t}^{2}-4t+5}$=$\frac{4}{t+\frac{5}{t}-4}$，
由t+$\frac{5}{t}$≤-2$\sqrt{t•\frac{5}{t}}$=-2$\sqrt{5}$．
当且仅当t=-$\sqrt{5}$，即k=-2-$\sqrt{5}$，等号成立．
即有$\frac{4}{t+\frac{5}{t}-4}$≥$\frac{4}{-2\sqrt{5}-4}$=4-2$\sqrt{5}$，
则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$≥1-2$\sqrt{5}$．
故当k=-2-$\sqrt{5}$时，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$取得最小值1-2$\sqrt{5}$．

点评本题考查曲线方程的求法，注意运用代入法，考查直线和圆的位置关系，注意联立直线和圆的方程，运用韦达定理，同时考查向量数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．