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百师联盟 2024届高三开年摸底联考 (新教材75分钟)数学试卷答案

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(13分)如图所示为沿x轴正方向传播的简谐横波,实线为t=0时的波形图,经过△t=0.5s波形如图中虚线所示,已知虚线上波谷对应的平衡位置坐标为x=7.5m。(1)该波的波速为多少?(2)若波速为v=21m/s时,写出坐标为x=1处的质点Q的振动方程。

分析（1）由条件结合正弦定理得：$\sqrt{3}sinCcos{A}=sin{A}sinC$，解得tanA的值，结合范围0＜A＜π，可求A的值，由正弦定理得化简可求bc=4，利用三角形面积公式即可得解．
（2）利用平面向量数量积的运算可求得bc=8，利用余弦定理及基本不等式可求a的最小值．

解答解：由条件结合正弦定理得：$\sqrt{3}sinCcos{A}=sin{A}sinC$，
从而$sin{A}=\sqrt{3}cos{A}$，$tan{A}=\sqrt{3}$，
∵0＜A＜π，
∴${A}=\frac{π}{3}$．…（3分）
（1）由正弦定理得：4c=c²b，∴bc=4，
∴${S_{△{A}{B}C}}=\frac{1}{2}bcsin{A}=\sqrt{3}$．…（5分）
（2）$\overrightarrow{{A}{B}}•\overrightarrow{{A}C}=cbcos{60°}=4$⇒bc=8．
又a²=b²+c²-2bccos60°≥2bc-bc=8，当且仅当$b=c=2\sqrt{2}$时，等号成立．
∴${a_{min}}=2\sqrt{2}$．…（10分）

点评本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式，正切函数的图象和性质，考查了平面向量的数量积的运算，属于中档题．