吉林省2024届高三2月质量检测数学试题答案 (更新中)

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试题答案

吉林省2024届高三2月质量检测数学试卷答案

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11.定义在R上的偶函数f(x)的周期为2,0<x<1,f(x)=-log2(1-x),则当1<x<2,下面说法正确的是(  )

A.f(x)单调递增,f(x)<0B.f(x)单调递增,f(x)>0C.f(x)单调递减,f(x)<0D.f(x)单调递减,f(x)>0

分析(1)运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程,以及a,b,c的关系,解方程可得a,b,进而得到椭圆方程;
(2)设过点P(0,2)的直线l的方程为x=my+2,代入椭圆方程,可得(1+3m2)y2+12my+9=0,运用韦达定理和弦长公式,再由点到直线的距离公式,求得三角形AOB的面积,结合基本不等式即可得到最大值,进而得到所求直线的方程.

解答解:(1)由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,又a2-b2=c2
点($\frac{3}{2},\frac{1}{2}$)在椭圆C上,可得$\frac{9}{4{a}^{2}}$+$\frac{1}{4{b}^{2}}$=1,
解方程可得a=$\sqrt{3}$,b=1,
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y2=1;
(2)设过点P(0,2)的直线l的方程为x=my+2,
代入椭圆方程,可得(1+3m2)y2+12my+9=0,
判别式为144m2-36(1+3m2)>0,即有m>1或m<-1,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-$\frac{12m}{1+3{m}^{2}}$,y1y2=$\frac{9}{1+3{m}^{2}}$,
|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•|y1-y2|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{(-\frac{12m}{1+3{m}^{2}})^{2}-\frac{36}{1+3{m}^{2}}}$=6$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{\frac{{m}^{2}-1}{(1+3{m}^{2})^{2}}}$,
由O到直线l的距离d=$\frac{2}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$,
则△AOB的面积为S=$\frac{1}{2}$d•|AB|=6$\sqrt{\frac{{m}^{2}-1}{(1+3{m}^{2})^{2}}}$,
令t=m2-1,(t>0),即有S=6$\sqrt{\frac{t}{(3t+4)^{2}}}$=6$\sqrt{\frac{1}{9t+\frac{16}{t}+24}}$,
由9t+$\frac{16}{t}$≥2$\sqrt{9t•\frac{16}{t}}$=24,当且仅当t=$\frac{4}{3}$,即m=±$\frac{\sqrt{21}}{3}$,取得等号,
即有△AOB的面积最大时l的方程为x=±$\frac{\sqrt{21}}{3}$y+2.

点评本题考查椭圆的方程的求法,注意运用椭圆的离心率公式,考查直线和椭圆的位置关系,注意运用韦达定理和弦长公式,考查运算能力,属于中档题.

吉林省2024届高三2月质量检测数学
话题:
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