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梅州市高三总复习质检试题（2024.2）数学试卷答案

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10.微型无人机在生产生活中有广泛应用。如图甲,一款无人机正在承担从地面向高层建筑运载医疗用品的任务,将此任务简化成竖直方向上的运动。其中两次均把静止在地面的同一质量的医疗用品运送到同一楼层(末速度刚好为零),第一次用了2t0时间,第二次用了t2时间,运动的a-t图像如图乙、丙所示,过程中不考虑摩擦阻力和空气阻力。则两次A.无人机做功之比为1:1B.无人机最大输出功率之比为1:2C.无人机最大输出功率之比为2:1D.无人机做功的平均功率之比为5:4

分析求出函数的导数，求出切线的斜率，求出切线方程，求出x，y轴上的截距，运用三角形的面积公式，即可得证．

解答证明：曲线y=$\frac{{a}^{2}}{x}$的导数为y′=-$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}$，
在任一点（x₀，y₀）处的切线斜率为-$\frac{{a}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}$，
切点为（x₀，$\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}}$），
则有切线方程：y-$\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}}$=-$\frac{{a}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}$（x-x₀），
由x=0得，y=$\frac{2{a}^{2}}{{x}_{0}}$，
再由y=0，得，x=2x₀，
则与两坐标轴围成的三角形面积是：$\frac{1}{2}$|2x₀•$\frac{2{a}^{2}}{{x}_{0}}$|=2a²为定值．

点评本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的点斜式，考查运算能力，属于基础题．