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炎德英才大联考长郡中学2024届高三月考试卷（六）数学试卷答案

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(3)通过如上图2所示的方法进行纯化培养时,在恒温培养箱中培养一段时间后,其中某组的4个30×300平板上的菌落数分别为66个、52个、444个、26个,则可以推测原酵母菌菌液中每毫升含菌数为

分析（1）求得函数的导数，求得切线的斜率和切点，解方程可得a，b，进而得到f（x）的解析式；
（2）求出f（x）的导数，求得单调区间和极值，结合图象，即可得到方程解的情况．

解答解：（1）∵函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}-bx+4$，
f'（x）=x²+2ax-b，
根据题意得f'（2）=4，即4a-b=0，
又$f（2）=8-\frac{10}{3}$，即有$\frac{8}{3}$+4a-2b+4=8-$\frac{10}{3}$，
解得$a=\frac{1}{2}，b=2$，
∴$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}-2x+4$；
（2）∵$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}-2x+4$，
∴f'（x）=x²+x-2=（x+2）（x-1），
令f'（x）＞0解得x＜-2或x＞1，f'（x）＜0解得-2＜x＜1，
即有f（x）的增区间为（-∞，-2），（1，+∞），减区间为（-2，1），
即有x=1处取得极小值，且为$\frac{17}{2}$，x=-2处取得极大值，且为$\frac{22}{3}$．
则当k＜$\frac{17}{6}$或k＞$\frac{22}{3}$时，方程k=f（x）有一个解；
当k=$\frac{17}{6}$或k=$\frac{22}{3}$时，方程k=f（x）有两个解；
当$\frac{17}{6}$＜k＜$\frac{22}{3}$时，方程k=f（x）有三个解．

点评本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查数形结合的思想方法，以及运算能力，属于中档题．