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湖南省2023年下学期高一期末考试试题数学试卷答案

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10.用是导致大豆减产的主要动物,为防治农田害,科研人员选择若干大小相似、开放的大豆田,在边界上每隔一定距离设置适宜高度的模拟树桩,为处于食物链顶端的肉食性猛禽提供栖息场所。设桩一段时间后,测得大豆田中田鼠种群密度的变化如题10图所示。下列时间点:选项表表述正确的是17题10图A.田鼠种群性别比例间接影响其种群的出生率和死亡率B.一只田队到一只猛禽的能量传递效C.与曲线1相比,曲线Ⅱ所示环境中猛离的密度可能更大D.b点以后田鼠种群密度大幅上升与株冠形成有利于躲避天敌和食物来源逐渐增多有关

分析（1）由题意可得△ABC的周长=a+b+c=$\sqrt{3}$+2sinB+2sinA═$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），结合A的范围可得答案．
（2）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sinAcosA=sinBcosA，当cosA=0时，可得A=$\frac{π}{2}$，可求B，b，利用三角形面积公式即可得解；当cosA≠0时，由正弦定理解得b=2a，利用余弦定理可求a，b，根据三角形面积公式即可得解．

解答解：（1）由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}=2$，
∴可得b=2sinB，a=2sinA，
∴△ABC的周长l=a+b+c=$\sqrt{3}$+2sinB+2sinA，
=$\sqrt{3}$+2sin（$\frac{2π}{3}$-A）+2sinA
=$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），
∵A∈（0，$\frac{2π}{3}$），
∴A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]
∴当sin（A+$\frac{π}{6}$）=1时，△ABC的周长l=$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）取最大值3$\sqrt{3}$．
（2）∵2sin2A+sin（2B+C）-sinC=0，
⇒2sin2A=sin（A+B）-sin（B-A+π）
⇒2sin2A=sin（A+B）+sin（B-A）
⇒2sinAcosA=sinBcosA，
∴当cosA=0时，可得A=$\frac{π}{2}$，由c=$\sqrt{3}$，C=$\frac{π}{3}$．故B=$\frac{π}{6}$，可得：S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc=$\frac{1}{2}×$$\frac{csinB}{sinC}$×c=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}×\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
当cosA≠0时，可得2sinA=sinB，由正弦定理可得：b=2a，由c=$\sqrt{3}$，C=$\frac{π}{3}$，利用余弦定理可得：3=a²+b²-ab=3a²，解得：a=1，b=2，可求S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评本题考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的最值，三角形面积公式，正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．