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衡水金卷2024版先享卷答案信息卷全国卷 一数学试卷答案

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10.如图所示,倾角=37^的粗糙斜面体固定在水平面上,一轻质弹簧放在斜面上,下端固定,弹簧处于自然状态.质量为1kg的物块(可视为质点)从斜面上某点由静止释放,物块向下运动1m时刚好与弹簧接触,此时物块的动能为2J,物块继续向下压缩弹簧0.1m时动能达到最大.取重力加速度g=10m/s^2,37^=0.6,37^=0.8,则下列说法正确的是A.物块与斜面间的动摩擦因数为0.4B.弹簧的劲度系数为20N/mC.从开始运动到物块动能最大的过程中,物块损失的机械能全部转化为摩擦产生的内能D.若改变物块开始释放的位置,物块向下运动过程中动能最大的位置仍不变

分析（1）由三角函数公式化简可得f（x）=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{4}$；
（2）由周期公式可得；
（3）可得h（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），易得函数的最大值和x的集合．

解答解：（1）由三角函数公式化简可得：
f（x）=（$\frac{1}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）
=$\frac{1}{4}$cos²x-$\frac{3}{4}$sin²x=$\frac{1}{4}$•$\frac{1+cos2x}{2}$-$\frac{3}{4}$•$\frac{1-cos2x}{2}$
=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{4}$；
（2）由（1）可得f（x）=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{4}$，
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（3）h（x）=f（x）-g（x）
=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{4}$-（$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1}{4}$）
=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$sin2x
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
∴h（x）的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
此时x满足2x+$\frac{π}{4}$=2kπ，解得x=kπ-$\frac{π}{8}$，
故此时x的集合为{x|x=kπ-$\frac{π}{8}$，k∈Z}

点评本题考查三角函数的最值，涉及三角函数的周期性，属基础题．