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上进联考 上饶市2024届高三六校第一次联合考试数学试卷答案

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15．幂函数f（x）的图象经过点（$\sqrt{2}$，2），点（-2，$\frac{1}{4}$）在幂函数g（x）的图象上，
（1）求f（x），g（x）的解析式．
（2）x为何值时f（x）＞g（x）？x为何值时f（x）＜g（x）？

分析（1）由ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，能求出圆C的直角坐标方程，由直线l过点P（1，1），且倾斜角α=$\frac{π}{3}$，能求出直线l的参数方程．
（2）求出直线的参数方程代入圆C方程x²+y²-4y=0，能求出|PA|•|PB|．

解答解：（1）∵ρ=4sinθ，
∴ρ²=4ρsinθ，则x²+y²-4y=0，…（3分）
即圆C的直角坐标方程为x²+y²-4y=0．…（4分）
（2）∵直线l过点P（1，1），且倾斜角α=$\frac{π}{3}$，
∴直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数）．…（6分）
将该方程代入圆C方程x²+y²-4y=0，
得${t}^{2}+（1-\sqrt{3}）t-2=0$，t₁t₂=-2．…（9分）
即|PA|•|PB|=|t₁t₂|=2．…（10分）

点评本题考查圆的直角坐标方程的求法，考查两线段乘积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的合理运用．