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安徽省2023~2024学年高三年级上学期期末联考(243549D)数学试卷答案

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17．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-1，0＜x≤2}\\{-1，-2≤x≤0}\end{array}\right.$，g（x）=f（x）+ax，x∈[-2，2]为偶函数，则实数a=-$\frac{1}{2}$．

分析由g（x）=e^x-e²x的导数为e^x-e²，求得单调区间和极值，画出y=f（x）的图象，求得方程的根，由题意可得y=f（x）与y=1-a有四个交点等价为0＜1-a＜e²，解不等式即可得到a的范围．

解答解：令g（x）=e^x-e²x，则g′（x）=）=e^x-e²，
∴当x＞2时，g′（x）＞0，当x＜2时，g′（x）＜0，当x=2时，g′（x）=0，
∴当x＞2时，g（x）是增函数；
当x＜2时，g（x）是减函数减．
当x=2时g（x）取得极小值g（2）=-e²．
作出f（x）的函数图象如图：
令t=f（x），∵t²+at+a-1=0，
△=a²-4（a-1）=（a-2）²≥0，
∴t=-1或t=1-a，即f（x）=-1或f（x）=1-a，
∵f（x）≥0，∴f（x）=-1无解，
∵方程f²（x）+af（x）+a-1=0有四个不同的实数根，
∴f（x）=1-a有4个不同的实数根，
∴0＜1-a＜e²，解得1-e²＜a＜1．
故答案为（1-e²，1）．

点评本题考查函数和方程的转化思想，考查导数与单调区间和极值的关系，考查数形结合的思想方法，属于中档题．