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河南省社旗县2023年八年级秋期期终教学质量评估数学试卷答案

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3.已知有关数值均正确,下列化学用语正确的是A.碳酸氢根离子的水解方程式为HCO3^-+H2OCO3^2+H^+B.甲烷燃烧的热化学方程式为CH4(g)+2O2(g)2H2O(l)+CO2(g)H--8y0kJ+mol^-1C.酯酸与NaOH[反应的热化学方程式为H^+(aq)+OH^-(aq)H2O(1)H=-57.3kJmol^-1D.H2S5的电离方程式为H2SS^2-+2H^+

分析所证明的不等式的左侧是n-1项，因此是对数表达式，联想对数运算法则：ln$\frac{M}{N}$=lnM-lnN，引入辅助函数f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，由导数证明其在[1，+∞）上为增函数，得到f（ $\frac{n}{n-1}$）＞0，即：$\frac{1}{n}$＜ln$\frac{n}{n-1}$，则数列不等式得证．

解答证明：令f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，则f′（x）=$\frac{-x-1+x}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
当x≥1时，f′（x）≥0，∴f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴n≥2时：f（$\frac{n}{n-1}$）=$\frac{1-\frac{n}{n-1}}{\frac{n}{n-1}}$+ln$\frac{n}{n-1}$=ln$\frac{n}{n-1}$-$\frac{1}{n}$＞f（1）=0，
即：$\frac{1}{n}$＜ln$\frac{n}{n-1}$，
∴$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$＜lnn．

点评本题考查了数列的求和，考查了利用构造函数法证明数列不等式，关键是构造出增函数f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，是难题．