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吉安市高三上学期期末教学质量检测(2024.1)数学试卷答案

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3．已知双曲线x²一y²=1．
（1）若直线l：y=$\frac{1}{2}$x-b交双曲线于A，B两点，且|AB|=$\frac{2\sqrt{35}}{3}$．求直线l方程：
（2）求以定点M（2，1）为中点的弦所在直线方程：
（3）思考以定点N（1，1）为中点＜弦存在吗？（数形结合）

分析根据$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0和|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2|$\overrightarrow{a}$|得出|$\overrightarrow{a}$|与|$\overrightarrow{b}$|的关系，代入夹角公式即可．

解答解：∵|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2|$\overrightarrow{a}$|，
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）²=4$\overrightarrow{a}$²，即$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=4${\overrightarrow{a}}^{2}$，
∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
∴${\overrightarrow{b}}^{2}$=3${\overrightarrow{a}}^{2}$，∴|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|．
设向量$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
则cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-{\overrightarrow{b}}^{2}}{2|\overrightarrow{a}|•\sqrt{3}|\overrightarrow{a}|}$=-$\frac{3{\overrightarrow{|a}|}^{2}}{2\sqrt{3}|\overrightarrow{a}{|}^{2}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴θ=$\frac{5π}{6}$．
故选：D．

点评本题考查了平面向量的数量积运算，求出|$\overrightarrow{a}$|与|$\overrightarrow{b}$|的关系是关键．