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福建省漳州市2023-2024学年(上)高二期末高中教学质量检测数学试卷答案

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10.生态足迹又叫生态占用,是指在现有技术条件下,维持某一人口单位(一个人、一个城市、一个国家或全人类)生存所需的生产资源和吸纳废物的土地及水域的面积。下列有关生态足迹的说法,不合理的是A.绿色出行、使用低耗能电器,能减少生态足迹B.生态足迹的值越大,代表人类所需的资源越少多C.生活方式不同,生态足迹的大小可能不同D.与食用蔬菜相比,吃牛肉会增大生态足迹

分析设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MP|=a+b，由余弦定理可得|AB|²=（a+b）²-ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．

解答解：设|AF|=a，|BF|=b，
连接AF、BF，
由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，
|BF|=|BP'|
在梯形ABP'Q中，
2|MP|=|AQ|+|BP'|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|²=a²+b²-2abcos120°
=a²+b²+ab，
配方得，|AB|²=（a+b）²-ab，
又∵ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²，
∴（a+b）²-ab≥（a+b）²-$\frac{1}{4}$（a+b）²=$\frac{3}{4}$（a+b）²
得到|AB|≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a+b）．
∴$\frac{|PM|}{|AB|}$≤$\frac{\frac{1}{2}（a+b）}{\frac{\sqrt{3}}{2}（a+b）}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即$\frac{|PM|}{|AB|}$的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：A．

点评本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求$\frac{|PM|}{|AB|}$的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．