山东省菏泽市2023-2024学年度第一学期期末学业水平诊断(高三)数学试题答案 (更新中)

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试题答案

山东省菏泽市2023-2024学年度第一学期期末学业水平诊断(高三)数学试卷答案

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2.有如下几个结论:
①若函数y=f(x)满足:$f(x)=-\frac{1}{{f({x+1})}}$,则2为y=f(x)的一个周期,
②若函数y=f(x)满足:f(2x)=f(2x+1),则$\frac{1}{2}$为y=f(x)的一个周期,
③若函数y=f(x)满足:f(x+1)=f(1-x),则y=f(x+1)为偶函数,
④若函数y=f(x)满足:f(x+3)+f(1-x)=2,则(3,1)为函数y=f(x-1)的图象的对称中心.
正确的结论为①③(填上正确结论的序号)

分析①可对不等式$|\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}|≥|\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}|$两边平方,然后根据$|\overrightarrow{b}|=4$便可化简成$16{λ}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}λ+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-4≥0$,该不等式对于任意的λ∈R恒成立,从而有△=$4(\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b})^{2}-64(\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-4)$≤0,对该不等式进行化简便可得到$(\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-8)^{2}≤0$,从而求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的值;
②同样对不等式$|\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}|≥|\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}|$的两边分别平方,根据条件$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$,对平方后的式子进行化简便可得到$|\overrightarrow{b}|{λ}^{2}-|\overrightarrow{a}|λ+\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}|-\frac{1}{4}|\overrightarrow{b}|≥0$,该不等式对于任意λ∈R恒成立,从而有△≤0,这样可以得到$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$,然后可以求出$(\frac{|2\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{b}|})^{2}={t}^{2}-2t+4$,配方即可求出$(\frac{|2\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{b}|})^{2}$的最小值,从而便可求出$\frac{|2\overrightarrow{a}-t•\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{b}|}$的最小值.

解答解:①由$|\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}|≥|\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}|$得,$(\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b})^{2}≥(\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b})^{2}$①;
∵$|\overrightarrow{b}|=4$,∴上式整理可得,-2$λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+16{λ}^{2}≥-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4$;
∴不等式$16{λ}^{2}-2λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-4≥0$对任意的λ∈R恒成立;
∴$△=4(\overrightarrow{a}•{\overrightarrow{b})}^{2}-64(\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-4)≤0$;
∴$(\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b})^{2}-16\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+64=(\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-8)^{2}≤0$;
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-8=0$;
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=8$;
②由①整理得:$-2λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{λ}^{2}{\overrightarrow{b}}^{2}≥-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\frac{1}{4}{\overrightarrow{b}}^{2}$②;
∵$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$夹角为$\frac{π}{3}$;
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$,带入②并整理得:
${|\overrightarrow{b}|}^{2}{λ}^{2}-|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|λ+\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|-\frac{1}{4}|\overrightarrow{b}{|}^{2}≥0$,|$\overrightarrow{b}$|≠0,该不等式对任意λ∈R恒成立;
∴$△=(|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|)^{2}-4|\overrightarrow{b}{|}^{2}(\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|-\frac{1}{4}|\overrightarrow{b}{|}^{2})≤0$;
∴$|\overrightarrow{a}{|}^{2}-2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{b}{|}^{2}=(|\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{b}|)^{2}≤0$;
∴$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$;
∴$(\frac{|2\overrightarrow{a}-t•\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{b}|})^{2}=\frac{4{\overrightarrow{a}}^{2}-4t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{t}^{2}{\overrightarrow{b}}^{2}}{{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\frac{4{\overrightarrow{a}}^{2}-2t|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|+{t}^{2}{\overrightarrow{b}}^{2}}{{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\frac{4{\overrightarrow{a}}^{2}-2t{\overrightarrow{a}}^{2}+{t}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{a}}^{2}}={t}^{2}-2t+4$=(t-1)2+3≥3;
∴$\frac{|2\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{b}|}$的最小值为$\sqrt{3}$.
故答案为:8,$\sqrt{3}$.

点评考查数量积的运算及计算公式,一元二次不等式恒成立时判别式△的取值情况,以及完全平方式的运用,配方求二次函数的最值.

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