山西省晋城市阳城县2023-2024学年第一学期八年级学业质量监测(试题卷)数学试题答案 (更新中)

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试题答案

山西省晋城市阳城县2023-2024学年第一学期八年级学业质量监测(试题卷)数学试卷答案

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10.设函数f(x)=x3(ax+m•a-x)(x∈R,a>0)且a≠1)是偶函数,则实数m的值为(  )

A.-2B.-1C.1D.2

分析(1)由于${a_{n+1}}=\frac{4}{{4-{a_n}}}(n∈{N^*}),{a_1}=1$,${b_n}=\frac{2}{{2-{a_n}}}$,可得bn+1=$\frac{2}{2-{a}_{n+1}}$=1+bn,利用等差数列的通项公式可得bn=n.对任意正整数n,要证明|sin(bnθ)|≤bn|sinθ|,只要证明:|sinnθ|≤n|sinθ|,利用数学归纳法证明即可.
(2)由(1)可得:$n=\frac{2}{2-{a}_{n}}$,解得an=2-$\frac{2}{n}$.cn=Sn-2n+2ln(n+1),当n≥2时,可得cn-cn-1=2(ln$(1+\frac{1}{n})$-$\frac{1}{n}$).(n≥2).令1+$\frac{1}{n}$=x,$1<x≤\frac{3}{2}$.记f(x)=lnx-(x-1),利用导数研究其单调性即可得出.

解答证明:(1)∵${a_{n+1}}=\frac{4}{{4-{a_n}}}(n∈{N^*}),{a_1}=1$,${b_n}=\frac{2}{{2-{a_n}}}$,
∴bn+1=$\frac{2}{2-{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{2-\frac{4}{4-{a}_{n}}}$=$\frac{2(4-{a}_{n})}{4-2{a}_{n}}$=1+$\frac{2}{2-{a}_{n}}$=1+bn
∴bn+1-bn=1,∴数列{bn}是等差数列,首项b1=$\frac{2}{2-{a}_{1}}$=1,公差为1.
∴bn=1+(n-1)=n.
对任意正整数n,要证明|sin(bnθ)|≤bn|sinθ|,只要证明:|sinnθ|≤n|sinθ|,(*).
下面利用数学归纳法证明:
①当n=1时,(*)成立.
②假设n=k时,(*)成立,即|sinkθ|≤k|sinθ|,
则当n=k+1时,|sin(k+1)θ|=|sinkθcosθ+coskθsinθ|≤|sinkθ||cosθ|+|coskθ||sinθ|≤|sinkθ|+|sinθ|≤(k+1)|sinθ|,
即n=k+1时,(*)成立.
由①②可知:对任意正整数n,|sin(bnθ)|≤bn|sinθ|.
(2)由(1)可得:$n=\frac{2}{2-{a}_{n}}$,解得an=2-$\frac{2}{n}$.
cn=Sn-2n+2ln(n+1),当n≥2时,cn-1=Sn-1-2(n-1)+2lnn,
∴cn-cn-1=an-2+2ln$\frac{n+1}{n}$=-$\frac{2}{n}$+2ln$\frac{n+1}{n}$=2(ln$(1+\frac{1}{n})$-$\frac{1}{n}$).(n≥2).
令1+$\frac{1}{n}$=x,$1<x≤\frac{3}{2}$.记f(x)=lnx-(x-1),
f′(x)=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$<0,∴f(x)在$(1,\frac{3}{2}]$上单调递减,
∴f(x)<f(1)=0,∴ln$(1+\frac{1}{n})$-$\frac{1}{n}$<0.
∴cn-cn-1<0,即cn<cn-1
∴数列{cn}是递减数列.

点评本题考查了数列的单调性、利用导数研究函数的单调性、数学归纳法、递推关系的应用、和差公式、不等式的性质、三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

山西省晋城市阳城县2023-2024学年第一学期八年级学业质量监测(试题卷)数学
话题:
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