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2023年河池市秋季学期高二年级期末教学质量统一测试数学试卷答案

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14.常温下,向1L0.100molL^-1H2C2O4溶液中加入NaOH粉末调节pH,得到溶液中部分含碳粒子的浓度随pH的变化如图所示(假设溶液体积不0.08变)。下列说法错误的是A.pH由2.7至5.5过程中发生的主要反应为(OH^-+HC2O4^-C2O4^2-+H2OB.当c(Na^+)=0.100molL^-1时:2c(C2O4^2-)+c(HC2O4^-)<0.100molL^-1C.草酸是具有还原性的二元弱酸D.pH=2.7的溶液中:c^2(bC2O2^-)c(H2O4)c(C2O4^2)=1000

分析设g（x）=（x-2）lnx，h（x）=ax-1，问题转化为存在唯一的整数x₀使得g（x₀）在直线y=ax-1的下方，求导数判断单调性，数形结合可得g（1）≥h（1）=a-1且h（3）=3a-1≤g（3）=ln3，h（2）＞g（2），解关于a的不等式组可得．

解答解：设g（x）=（x-2）lnx，h（x）=ax-1，
由题意知存在唯一的整数x₀使得g（x₀）在直线y=h（x）=ax-1的下方，
∵g′（x）=lnx+1-$\frac{2}{x}$，
∴当x≥2时，g′（x）＞0，当0＜x≤1时，g′（x）＜0，
当x=1时，g（1）=0，当x=1时，h（1）=a-1＜0，即a≤1．
直线y=ax-1恒过定点（0，-1）且斜率为a，
由题意结合图象可知，存在唯一的整数x₀=2，f（x₀）＜0，
故h（2）=2a-1＞g（2）=0，h（3）=3a-1≤g（3）=ln3，解得$\frac{1}{2}$＜a≤$\frac{1+ln3}{3}$．
故选：B．

点评本题考查导数的运用：判断单调性，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．