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山西省2023-2024学年第一学期高三年级期末学业诊断数学试卷答案

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15.(15分)如图所示,弹簧左端固定,水平面右端放一质量为m=0.1kg的小物块,给小物块一大小为v0=4m/s的初速度,使其向左运动,运动d=1m后将弹簧压至最短,接着小物块反弹回到出发点时速度大小v1=2m/s。,若水平面右端与一长为L=3m的水平传送带平滑连接,传送带以v2=10m/ss的速度顺时针匀速转动。传送带右端又与一竖直平面内的光滑圆轨道的底端平滑连接,圆轨道半径R=0.8m。。当小物块进人圆轨道时会触发闭合装置将圆轨道封闭构成一个完整的圆周。取g=10m/s^2,53^=0.8,53^=0.6,,求:(1)小物块与水平面间的动摩擦因数1;(2)弹簧具有的最大弹性势能Ep;(3)要使小物块进入竖直圆轨道后能够过最高点(不脱离轨道),传送带与小物块间的动摩擦因数2应满足的条件。

分析由题意方程求出左顶点坐标，设出直线方程y=kx+m，联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出A，B两点横坐标的和与积，结合∠AQB=$\frac{π}{2}$，可得$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=0$，转化为含有m，k的关系式，把m用含有k的代数式表示，代入直线方程可得点N的坐标．

解答解：如图，

由题意可知Q（-2，0），设AB所在直线方程为y=kx+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．
△=64k²m²-（4+16k²）（4m²-4）=16-16m²+64k²．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{1+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∵∠AQB=$\frac{π}{2}$，
∴$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=0$，
又$\overrightarrow{QA}=（{x}_{1}+2，{y}_{1}），\overrightarrow{QB}=（{x}_{2}+2，{y}_{2}）$，
∴（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=0，
即x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
整理得：$（{k}^{2}+1）{x}_{1}{x}_{2}+（km+2）（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}+4=0$．
即$（{k}^{2}+1）•\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}-（km+2）•\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$+m²+4=0．
∴（5m-2k）（5m-6k）=0．
则5m-2k=0或5m-6k=0．
当5m-2k=0，即m=$\frac{2k}{5}$时，△＞0成立，直线l：y=kx+$\frac{2}{5}k$，直线过定点（-$\frac{2}{5}$，0）；
当5m-6k=0，即m=$\frac{6k}{5}$时，△＞0成立，直线l：y=kx+$\frac{6k}{5}$，直线过定点（$-\frac{6}{5}，0$）．
综上，直线1过x轴上的定点N（-$\frac{2}{5}$，0）或（$-\frac{6}{5}，0$）．
故答案为：N（-$\frac{2}{5}$，0）或（$-\frac{6}{5}，0$）．

点评本题考查椭圆的简单性质，考查了平面向量在解决圆锥曲线问题中的应用，考查了直线系方程问题，是中档题．