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皖江名校联盟2023届高三上学期12月联考[D-023]数学试卷答案

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4．点A（-1，0）和点B（1，1）在直线x+y-a=0的两侧，则a的取值范围是（　　）

分析先画出函数y=f（x）在一个周期[-1，1]内的图象，函数f（x）的周期T=2，从而画出函数y=f（x），x∈R的图象．再画出函数y=|log₅x|的图象，及根据其单调性即可求出交点的个数．

解答解：∵函数满足f（x）=$\frac{1}{f（x+1）}$，
∴f（x+2）=f（x），即函数的周期T=2．

先画出x∈[-1，1]时，f（x）=x²的图象，其值域为[0，1]，再根据函数的周期T=2，可画出函数y=f（x），（x∈R）的图象；
再画出函数y=|log₅x|的图象，即把函数y=log₅x的在x轴下方的部分对称的翻到x轴上方．
当0＜x≤1时，函数f（x）=x²的图象与y=-log₅x的图象只有一个交点；
当1＜x≤5时，∵0＜log₅x≤1，0≤f（x）≤1及单调性和图象如图所示：二函数有4个交点．
综上共有5个交点．
故选：B．

点评本题考查了函数的性质周期性，运用图象求解函数交点个数，属于中档题．