安徽省凤台片区2023-2024学年度第一学期九年级期末教学质量检测数学试题答案 (更新中)

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试题答案

安徽省凤台片区2023-2024学年度第一学期九年级期末教学质量检测数学试卷答案

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1.求y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$(-x2-2x+3)的定义域、值域及单调区间.

分析(1)求导,分别判断导函数在定义域上各区间的符号,可得函数y=h(x)的单调区间;
(2)①当-$\frac{1}{a}$=1,即a=-1时,f(x)<g(x)恒成立;②当-$\frac{1}{a}$>1,即-1<a<0时,f(x)<g(x)恒成立;当-1<$\frac{1}{a}$<0,即a<-1时,考虑h(-a)<0时,a的取值,进而可得答案.

解答解:(1)h(x)=f(x)-g(x)
=lnx-x-$\frac{1}{2}$ax2+a(x+1),
h′(x)=$\frac{1}{x}$-1-ax+a=(1-x)($\frac{1}{x}$+a),
∵a>0,∴$\frac{1}{x}$+a>0,
∴当0<x<1时,h′(x)>0;
当x>1时,h′(x)<0;
故函数y=h(x)的单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,+∞);
(2)h(x)=f(x)-g(x)=lnx-x-$\frac{1}{2}$ax2+a(x+1),
h′(x)=$\frac{1}{x}$-1-ax+a=$\frac{(-a)(x-1)(x+\frac{1}{a})}{x}$,
令h′(x)=0,则x=1,x=-$\frac{1}{a}$,
①当-$\frac{1}{a}$=1,即a=-1时,h′(x)>0在x∈(0,1)上恒成立,
则h(x)在x∈(0,1)上为增函数,
h(x)<h(1)=-$\frac{5}{2}$<0,
∴f(x)<g(x)恒成立;
②当-$\frac{1}{a}$>1,即-1<a<0时,
h(x)在(0,1)上是增函数,此时0<-a<1,
故h(x)在(0,-a)上是增函数,h(x)<h(-a)<h(1)=$\frac{3}{2}a$-1<0,
解得:a<$\frac{2}{3}$
∴-1<a<0时,f(x)<g(x)恒成立;
③当-1<$\frac{1}{a}$<0,即a<-1时,
故h(x)在(0,-$\frac{1}{a}$)上是增函数,在(-$\frac{1}{a}$,1)上是减函数,在(1,-a)是增函数;
由$h(-\frac{1}{a})$=$ln(-\frac{1}{a})+\frac{1}{a}-\frac{1}{2}a•\frac{1}{{a}^{2}}+a(-\frac{1}{a}+1)$=$ln(-\frac{1}{a})-\frac{1}{2a}-1+\frac{1}{a}+a$=$ln(-\frac{1}{a})+\frac{2{a}^{2}+1}{2a}-1$<0,
故只需考虑h(-a)<0,
∵h(-a)=$ln(-a)+a-\frac{1}{2}a•{a}^{2}+a(-a+1)$=$ln(-a)-\frac{1}{2}{a}^{3}-{a}^{2}+2a$<0,
下面用特殊整数检验,
若a=-2,则h(2)=ln2+4-8=ln2-4<0
若a=-3,则h(3)=ln3+$\frac{27}{2}$-15=ln3-$\frac{3}{2}$<0
若a=-4,则h(4)=ln4+32-24=ln4+8>0
令u(x)=$-\frac{1}{2}{x}^{3}-{x}^{2}+2x$,则u′(x)=$-\frac{3}{2}{x}^{2}-2x+2$,
当x≤-4时,u′(x)<0恒成立,此时u(x)为减函数,
故u(x)≥u(4)>0
再由a≤-4时,ln(-a)>0,
故a≤-4时,h(-a)>0恒成立,
综上所述,使f(x)<g(x)在x∈(0,-a)上恒成立的a的最小整数值为-3.

点评本题考查的知识点是导数法求函数的单调区间,恒成立问题,存在性讨论,分类讨论思想,难度较大,属于难题.

安徽省凤台片区2023-2024学年度第一学期九年级期末教学质量检测数学
话题:
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