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［湖南大联考］湖南省2024届高三上学期期末联考数学试卷答案

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3.地球绕太阳公转的轨迹实际上是一个椭圆,太阳在椭圆的一个焦点上,如图所示,地球依次过A、B、C、D四点的过程中,速度最大的点为A.A点B.B点C.C点D.D点A太阳DC

分析求出A的坐标和切线方程，则所求面积和体积均可用两个定积分的差来表示．

解答解：设切线方程为y=kx+1，切点坐标为（a，b），
则$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{a}}\\{ka+1=b}\\{lna=b}\end{array}\right.$，解得a=e²，b=2，∴A（e²，2）．
将y=0代入y=lnx得x=1，∴B（1，0）．
∴直线AB的方程为$\frac{y}{2}=\frac{x-1}{{e}^{2}-1}$，即y=$\frac{2x}{{e}^{2}-1}$-$\frac{2}{{e}^{2}-1}$．
∴区域D的面积为${∫}_{1}^{{e}^{2}}lnxdx$-${∫}_{1}^{{e}^{2}}$（$\frac{2x}{{e}^{2}-1}$-$\frac{2}{{e}^{2}-1}$）dx=（xlnx-x）${|}_{1}^{{e}^{2}}$-（$\frac{{x}^{2}-2x}{{e}^{2}-1}$）${|}_{1}^{{e}^{2}}$=2．
区域D绕x轴旋转一周所得几何体体积为π•${∫}_{1}^{{e}^{2}}（lnx）^{2}dx$-$\frac{1}{3}×π×{2}^{2}×（{e}^{2}-1）$=π•x[（lnx）²-2lnx+2]|$\underset{\stackrel{{e}^{2}}{\;}}{1}$-$\frac{4π（{e}^{2}-1）}{3}$=（2e²-2）•π-$\frac{4π（{e}^{2}-1）}{3}$=$\frac{2π{（e}^{2}-1）}{3}$．

点评本题考查了定积分在求面积、体积中的应用，是中档题．