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四川省2022-2023学年树德中学高2022级高一上学期期中测试数学试卷答案

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20．（1）已知x$＜\frac{5}{4}$，求函数y=4x-2+$\frac{1}{4x-5}$的最大值．
（2）已知a≤1且a≠0，解关于x的二次不等式ax²-2x-2ax+4＞0．

分析函数f（x）=e^x+elnx-2ax在x∈（1，3）上单调递增，等价于f′（x）≥0在区间（1，3）上恒成立，分离参数a后化为求函数的范围即可得到所求范围．

解答解：∵函数f（x）=e^x+elnx-2ax在x∈（1，3）上单调递增，
∴f′（x）≥0在区间（1，3）上恒成立，
则$\frac{e}{x}$+e^x-2a≥0，即2a≤$\frac{e}{x}$+e^x在区间（1，3）上恒成立，
而y=$\frac{e}{x}$+e^x的导数为e^x-$\frac{e}{{x}^{2}}$，
由于e^x∈（e，e³），$\frac{e}{{x}^{2}}$∈（$\frac{1}{9}$e，e），
即有e^x-$\frac{e}{{x}^{2}}$＞0，则y=$\frac{e}{x}$+e^x在（1，3）递增，
即有y=$\frac{e}{x}$+e^x＞2e，
故2a≤e，解得a≤e．
故选C．

点评该题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数恒成立问题，考查转化思想，恒成立问题往往转化为函数最值解决．