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河北省2024届高三学生全过程纵向评价(二)2数学试卷答案

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9.一定条件下,石墨转化为金刚石吸收能量。下列关于石墨和金刚石的说法错误的是A.金刚石不如石墨稳定B.两物质的碳碳键的键角不相同C.等质量的石墨和金刚石中,碳碳键数目之比为4:3D.金刚石和石墨中碳原子的杂化方式分别为:sp^3和sp^2

分析（1）求导数，利用函数f（x）=x²-a1nx和g（x）=x-a$\sqrt{x}$在x=1处的切线平行，求出a，即可求函数f（x）和g（x）的单调增区间；
（2）设h（x）=f（x）+g（x），则h（x）在（1，3）上单调递增，即可证明：lnb+$\sqrt{b}$＜2b．

解答（1）解：∵f（x）=x²-a1nx，∴f′（x）=2x-$\frac{a}{x}$，∴f′（1）=2-a．
∵g（x）=x-a$\sqrt{x}$，∴g′（x）=1-$\frac{a}{2\sqrt{x}}$，∴g′（1）=1-$\frac{a}{2}$，
∵函数f（x）=x²-a1nx和g（x）=x-a$\sqrt{x}$在x=1处的切线平行．
∴2-a=1-$\frac{a}{2}$，
∴a=2，
∴f′（x）=$\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$＞0，单调增区间为（1，+∞）；
g′（x）=$\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$＞0，单调增区间为（1，+∞）；
（2）证明：设h（x）=f（x）+g（x），则h（x）在（1，3）上单调递增，
∴h（1）＜h（b）＜h（3），
∴b²+b-2lnb-2$\sqrt{b}$＞0，
∴2lnb+2$\sqrt{b}$＜b²+b＜4b，
∴lnb+$\sqrt{b}$＜2b．

点评本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，属于中档题．