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黑龙江省2023至2024第一学期高二期末考试(2024.1)(9119B)数学试卷答案

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10.在倾角=37^的光滑导轨的上端接入一个电动势E=3V,,内阻r=0.5Ω的电源,滑轨间距L=50cm,,将一个质量m=40g,,电阻R=1Ω的金属棒水平放置在滑轨上。若导轨所在空间加一匀强磁场,当闭合开关S后,金属棒刚好静止在滑轨上,如图所示。(已知37^=0.6,37^=0.8,g=10m/s^2)则下列说法正确的是A.磁感应强度有最小值为0.24T,方向垂直导轨平面向下B.磁感应强度有最大值0.4T,方向水平向右C.磁感应强度有可能为0.3T,方向竖直向下D.磁感应强度有可能为0.4T,方向水平向左

分析（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由直线的斜率公式可得方程，解方程可得b，c；
（2）求出导数，由题意可得g（x）=-ax²-x+1在[$\frac{1}{2}$，+∞）上有正有负，讨论a=0，a＞0，a＜0，结合二次函数的图象，考虑判别式大于0，f（$\frac{1}{2}$）＞0，以及对称轴与$\frac{1}{2}$的关系，解不等式即可得到所求范围．

解答解：（1）f（x）=（ax²+bx+c）e^-x的导数为
f′（x）=e^-x[-ax²+（2a-b）x+b-c]，
由在点（0，2a）处切线的倾斜角为$\frac{π}{4}$，可得
k=b-c=1，
再由f（0）=2a，可得c=2a，
则b=1+2a，c=2a；
（2）f（x）=（ax²+bx+c）e^-x的导数为
f′（x）=e^-x（-ax²-x+1），
由f（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上不单调，
可得g（x）=-ax²-x+1在[$\frac{1}{2}$，+∞）上有正有负，
a=0时，g（x）=1-x成立；
a＜0时，判别式△=1+4a＞0，且f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$a+$\frac{1}{2}$＞0，
又-$\frac{1}{2a}$＞$\frac{1}{2}$．解得-$\frac{1}{4}$＜a＜0；
a＞0时，判别式△=1+4a＞0，且f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$a+$\frac{1}{2}$＞0，
解得0＜a＜2．
综上可得a的取值范围是：-$\frac{1}{4}$＜a＜2．

点评本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查分类讨论的思想方法，以及运算求解能力，属于中档题．