2024届甘肃省高三阶段调考(⇧)数学试题答案 (更新中)

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试题答案

2024届甘肃省高三阶段调考(⇧)数学试卷答案

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7.求由下列函数的导数$\frac{dy}{dx}$:
(1)y=$\sqrt{xsinx\sqrt{1-{e}^{x}}}$
(2)y=$\frac{\sqrt{x+2}(3-x)^{4}}{(x+1)^{5}}$.

分析(1)曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P、Q,满足关于直线x+my+4=0对称,说明曲线是圆,直线过圆心,易求m的值;
(2)设P(x1,y1)、Q(x2,y2),PQ方程为y=-x+b.联立方程组,结合韦达定理,以及$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0. 求得k的方程,然后求直线PQ的方程.

解答解:(1)曲线方程为(x+1)2+(y-3)2=9表示圆心为(-1,3),半径为3的圆.
∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称,
∴圆心(-1,3)在直线上.代入得m=-1.
(2)∵直线PQ与直线y=x+4垂直,
∴设P(x1,y1)、Q(x2,y2),PQ方程为y=-x+b.
将直线y=-x+b代入圆方程,得2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0.
△=4(4-b)2-4×2×(b2-6b+1)>0,得2-3$\sqrt{2}$<b<2+3$\sqrt{2}$.
由韦达定理得x1+x2=-(4-b),x1•x2=$\frac{{b}^{2}-6b+1}{2}$.
y1•y2=b2-b(x1+x2)+x1•x2=$\frac{{b}^{2}-6b+1}{2}$+4b.
∵$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0,∴x1x2+y1y2=0,
即b2-6b+1+4b=0.
解得b=1∈(2-3$\sqrt{2}$,2+3$\sqrt{2}$).
∴所求的直线方程为y=-x+1.

点评本题考查直线与圆的方程的应用,直线的一般式方程,考查函数与方程的思想,是中档题.

2024届甘肃省高三阶段调考(⇧)数学
话题:
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