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广西2026届德保高中高一年级12月月考测试卷数学试卷答案

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11．已知sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，α∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$），则sin（$\frac{π}{3}$-α）=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

分析（1）先分别求出A点、B点的直角坐标，由此能求出|AB|的长．
（2）设C的直角坐标为C（a，b），由直线垂直的性质和两点点距离公式列出方程组求出B点直角坐标，由此能求出C点的极坐标．

解答解：（1）∵在极坐标系内，A（2，$\frac{π}{4}$），
∴x=2cos$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$，y=2sin$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$，
∴A点直角坐标为A（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$），
∵在极坐标系内，B（2，$\frac{5π}{4}$），
∴$x=2cos\frac{5π}{4}$=-$\sqrt{2}$，y=2sin$\frac{5π}{4}$=-$\sqrt{2}$，
∴B点直角坐标B（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），
∴|AB|=$\sqrt{（\sqrt{2}+\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}+\sqrt{2}）^{2}}$=4．
（2）∵A（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$），B（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），
∴k_AB=1，∵A，B是等边三角形的两个顶点，
∴k_OC=-1，
设C的直角坐标为C（a，b），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{a}=-1}\\{（a-\sqrt{2}）^{2}+（b-\sqrt{2}）^{2}=（2\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{6}}\\{b=-\sqrt{6}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-\sqrt{6}}\\{b=\sqrt{6}}\end{array}\right.$，
当$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{6}}\\{b=-\sqrt{6}}\end{array}\right.$时，$ρ=\sqrt{6+6}=2\sqrt{3}$，θ=$\frac{7π}{4}$，C点极坐标为：（2$\sqrt{3}$，$\frac{7π}{4}$）
当$\left\{\begin{array}{l}{a=-\sqrt{6}}\\{b=\sqrt{6}}\end{array}\right.$时，$ρ=\sqrt{6+6}=2\sqrt{3}$，$θ=\frac{3π}{4}$，C点的极坐标为：（2$\sqrt{3}$，$\frac{3π}{4}$）．
∴C点的极坐标为：（2$\sqrt{3}$，$\frac{3π}{4}$），（2$\sqrt{3}$，$\frac{7π}{4}$）．

点评本题考查线段长的求法，考查点的极坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标的互化及直线垂直的性质和两点点距离公式的合理运用．