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河北省2023-2024学年度高二年级上学期12月联考（台灯·河北）数学试卷答案

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3.骑自行车既是安全、绿色的出行方式之一,又是比较不错的有氧运动。山地自行车安装了气压式减震装置来抵抗颠簸从而受到不少人的喜爱,其原理如图所示。如果路面不平,随着骑行时自行车的颠簸,活塞上下振动,下列说法正确的是A.活塞迅速下压时汽缸内的气体对外界做负功B.活塞迅速下压时汽缸内的气体温度可能减小C.活塞迅速下压时汽缸内的气体的压强变小D.活塞迅速下压时汽缸内的气体的内能减小

分析（1）由ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出l的直角坐标方程，由cos²α+sin²α=1，能求出C的直角坐标方程．
（2）求出C上的点（2cosθ，sinθ）到直线x-y+4=0的距离，利用三角函数性质能求出C上的点到l距离的最大值和最小值．

解答解：（1）∵直线l的极坐标方程为：ρcosθ-ρsinθ+4=0，
ρcosθ=x，ρsinθ=y
∴l的直角坐标方程为x-y+4=0．
∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
cos²α+sin²α=1，
∴C的直角坐标方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴C上的点（2cosθ，sinθ）到直线x-y+4=0的距离：
d=$\frac{|2cosθ-sinθ+4|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}|\sqrt{5}sin（θ+α）+4|$，
∴C上的点到l距离的最大值为${d}_{max}=\frac{4\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}$，最小值为${d}_{min}=\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2}$．

点评本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程的互化，考查点到直线距离的最值的求法，是基础题，解题时要注意公式ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，cos²α+sin²α=1的合理运用．