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天壹名校联盟·2023届高二年级12月联考数学试卷答案

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5．已知点A（4，8）关于直线l₁：x+y=4的对称点B在抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）直线l₂与x轴交于点D，与抛物线C交于E、F两点． 是否存在定点D，使得$\frac{1}{{D{E^2}}}+\frac{1}{{D{F^2}}}$为定值？若存在，请指出点D的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．

分析（1）求出椭圆的顶点和焦点，可得双曲线的焦点和顶点，设出双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），可得a，b，进而得到双曲线的方程；
（2）设直线l的方程为x=my+2，代入双曲线的方程可得y的方程，运用韦达定理和三角形的面积公式，解方程可得m，进而得到直线方程．

解答解：（1）椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的顶点为（-2，0），（2，0），
椭圆的焦点为（-1，0），（1，0），
设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
即有a=1，c=2，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
则双曲线的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）双曲线C的右焦点为（2，0），
设直线l的方程为x=my+2，
代入双曲线的方程可得，（3m²-1）y²+12my+9=0，
3m²-1≠0，△=144m²-36（3m²-1）＞0恒成立，
y₁+y₂=-$\frac{12m}{3{m}^{2}-1}$，y₁y₂=$\frac{9}{3{m}^{2}-1}$，
|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{6\sqrt{1+{m}^{2}}}{|3{m}^{2}-1|}$，
即有△OAB的面积为S=S_△OAF+S_△OBF
=$\frac{1}{2}$×2|y₁-y₂|=$\frac{6\sqrt{1+{m}^{2}}}{|3{m}^{2}-1|}$=6，
解方程可得m=0或±$\frac{\sqrt{7}}{3}$．
即有直线l的方程为x=2或x-$\frac{\sqrt{7}}{3}$y-2=0或x+$\frac{\sqrt{7}}{3}$y-2=0．

点评本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查直线和双曲线的位置关系，联立直线方程和双曲线方程，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．