2024届湖北省高三12月联考(24-16C)数学试题答案 (更新中)

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试题答案

2024届湖北省高三12月联考(24-16C)数学试卷答案

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18.在平面直角坐标系中,定义$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{n+1}={y}_{n}-{x}_{n}}\\{{y}_{n+1}={y}_{n}+{x}_{n}}\end{array}\right.$(n∈N*为点Pn(xn,yn)到点Pn+1(xn+1,yn+1)的一个变换,我们把它称为点变换.已知P1(0,1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn),Pn+1(xn+1,yn+1)是经过点变换得到的一列点.设an=|PnPn+1|,数列{an}的前n项和为Sn,那么$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$的值为=2+$\sqrt{2}$.

分析原式可化为n(n2-1)(n2-4)=(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)=120•${C}_{n+2}^{5}$,命题得证.

解答证明:∵n5-5n3+4n=n(n4-5n2+4)
=n(n2-1)(n2-4)
=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)
=(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)
=${A}_{n+2}^{5}$
=${A}_{5}^{5}$•${C}_{n+2}^{5}$
=120•${C}_{n+2}^{5}$,
因为n>2且n∈Z,所以${C}_{n+2}^{5}$为整数,
故n5-5n3+4n能被120整除.

点评本题主要考查了运用排列数和组合公式证明整数问题,涉及多项式的因式分解和运用综合法证明问题,属于中档题.

2024届湖北省高三12月联考(24-16C)数学
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