2023秋河南省学情监测试卷数学试题答案 (更新中)

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试题答案

2023秋河南省学情监测试卷数学试卷答案

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2023秋河南省学情监测试卷数学

2.如图甲,乙所示为商场中两种形式倾角相同的白动扶梯,甲为倾斜面,乙为水平台阶,质量相等的A,B两人分别站在甲、乙上,随着扶梯一起斜向上以相同的速度做匀速运动,则A.甲对A的支持力做负功B.乙对B的支持力不做功C.甲对A的摩擦力不做功D.在相等的时间内A、B两人重力势能的增加量相等

分析利用已知可得:直线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{10}}{2}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$(t为参数),0≤α<π,把直线的参数方程代入椭圆方程x2+2y2=1,整理得t的二次方程,由于直线与椭圆相交两点,可得△≥0,得出sinα的取值范围,再利用参数的几何意义可得|PM|•|PN|=|t1t2|=$\frac{3}{2(1+si{n}^{2}α)}$即可.

解答解:设直线MN的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{10}}{2}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$(t为参数),0≤α<π,
代入椭圆的方程可得,t2(1+sin2α)+$\sqrt{10}$tcosα+$\frac{3}{2}$=0,
判别式△=10cos2α-6(1+sin2α)=4-16sin2α≥0,
解得0≤sinα≤$\frac{1}{2}$,
即有|PM|•|PN|=|=|t1t2|=$\frac{3}{2(1+si{n}^{2}α)}$≥$\frac{3}{2(1+\frac{1}{4})}$=$\frac{6}{5}$,
当且仅当sinα=$\frac{1}{2}$,即α=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$时取等号.
∴当α=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$时,|PM|•|PN|的最小值为$\frac{6}{5}$.

点评本题考查了直线的参数方程及其几何意义、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法,属于中档题.

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