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2024届辽宁省高三12月联考(24-207C)数学试卷答案

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12.桑基鱼塘是指将陆地种植与鱼塘养殖结合,把原本割裂的生产系统通过优化组合有机结合起来的一种农业生产模式,包括陆基种桑、桑叶饲蚕、蚕粪喂鱼、塘泥培桑。如图为某桑基鱼塘能量流动的模式图(单位:MJ/hm^2)。。下列有关叙述正确的是①总辐射

分析（1）由于以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F，可得$\overrightarrow{PF}•\overrightarrow{AF}$=$c（c-\frac{4}{3}）$+$\frac{1}{3}{b}^{2}$=0．把点P（$\frac{4}{3}$，$\frac{b}{3}$）代入椭圆C的方程为：$\frac{16}{9{a}^{2}}$+$\frac{1}{9}$=1，与b²+c²=a²联立解出即可得出．
（2）设my=x-2，D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为：（2+m²）y²+4my+2=0，△＞0，再利用弦长公式与点到直线的距离公式即可得出．

解答解：（1）A（0，b）．
∵以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F，∴PF⊥AF，
∴$\overrightarrow{PF}•\overrightarrow{AF}$=$（c-\frac{4}{3}，-\frac{b}{3}）$•（c，-b）=$c（c-\frac{4}{3}）$+$\frac{1}{3}{b}^{2}$=0．
把点P（$\frac{4}{3}$，$\frac{b}{3}$）代入椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的方程为：$\frac{16}{9{a}^{2}}$+$\frac{1}{9}$=1，
解得a²=2，∴b²+c²=2，可得b²=2-c²，代入$c（c-\frac{4}{3}）$+$\frac{1}{3}{b}^{2}$=0，解得c=1，b=1．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（2）设my=x-2，D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-2}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，化为：（2+m²）y²+4my+2=0，
△=16m²-8（2+m²）＞0，解得$m＞\sqrt{2}$或m$＜-\sqrt{2}$．
∴y₁+y₂=$\frac{-4m}{2+{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{2}{2+{m}^{2}}$．
∴|DE|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[\frac{16{m}^{2}}{（2+{m}^{2}）^{2}}-\frac{8}{2+{m}^{2}}]}$=$\frac{2\sqrt{（1+{m}^{2}）（{m}^{2}-2）}}{2+{m}^{2}}$．
原点O到直线DE的距离d=$\frac{2}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$．
∴S_△ODE=$\frac{1}{2}$d|DE|=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$×$\frac{2\sqrt{（1+{m}^{2}）（{m}^{2}-2）}}{2+{m}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{{m}^{2}-2}}{2+{m}^{2}}$．
设$\sqrt{{m}^{2}-2}$=t＞0，则m²=t²+2．
∴S_△ODE=$\frac{2t}{{t}^{2}+4}$=$\frac{2}{t+\frac{4}{t}}$≤$\frac{1}{2}$，当且仅当t=2时取等号．
∴m=$±\sqrt{6}$，满足△＞0．
∴当m=$±\sqrt{6}$时，△ODE面积的最大值为$\frac{1}{2}$．

点评本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．