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2023-2024学年高一试卷12月百万联考(齿轮)数学试卷答案

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7.汛期将至,南方多地开展抗洪抢险救援实战演练。某次实战演练中,战士们驾驶摩托艇从岸边A点出发去解救被困于对岸的人员。已知河岸是平直的,河水沿江向下游流去,水流速度为v1,,摩托艇在静水中的航速为v2,且v2=2v1,,河的宽度为L,如果战士们在最短的时间内到达对岸,则摩托艇登陆点离A点的距离为A.3L2B.3L2C.5L2D.3L

分析（1）由已知ρ²=ρ（4cosθ+2sinθ）=4ρcosθ+2ρsinθ，利用ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲线C的直角坐标方程及它表示的曲线．
（2）由已知得直线l过定点（2，1），也就是过圆（x-2）²+（y-1）²=5的圆心，由此能证明|PQ|为定值．

解答解：（1）∵ρ=4cos θ+2sin θ，
∴ρ²=ρ（4cos θ+2sin θ）=4ρcos θ+2ρsin θ，
由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，得x²+y²=4x+2y，
∴曲线C的直角坐标方程为（x-2）²+（y-1）²=5，
它表示以（2，1）为圆心，$\sqrt{5}$为半径的圆．（5分）
证明：（2）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$，（t为参数），
∴直线l过定点（2，1），也就是过圆（x-2）²+（y-1）²=5的圆心，
∴|PQ|=2$\sqrt{5}$，为定值．

点评本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查线段为定值的证明，解题时要认真审题，注意极坐标方程、参数方程、直角坐标方程转化公式的合理运用．