[五校联考]甘肃省2024届高考十二月份联考数学试题答案 (更新中)

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试题答案

[五校联考]甘肃省2024届高考十二月份联考数学试卷答案

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11.已知函数f(x)=(mx+1)(1nx-3).
(1)若m=1,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;
(2)若函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,求实数m的取值范围.

分析(1)由x∈[$\frac{1}{4}$,4]和t=log2x,结合对数函数的值域可得;
(2)化简换元可得y=t2+3t+2,由二次函数区间的最值可得;
(3)不等式f(x)-6>0可化为t2+3t-4>0,解t的范围结合对数函数的单调性可得.

解答解:(1)∵x∈[$\frac{1}{4}$,4],∴t=log2x∈[log2$\frac{1}{4}$,log24]
∴t的取值范围为[-2,2];
(2)化简可得y=log2(4x)•log2(2x)
=(log24+log2x)(log22+log2x)
=(2+t)(1+t)=t2+3t+2,
由二次函数可得当t=-$\frac{3}{2}$时,y取最小值-$\frac{1}{4}$,此时x=$\frac{\sqrt{2}}{4}$;
当t=2时,y取最大值12,此时x=1;
(3)不等式f(x)-6>0可化为t2+3t-4>0,
解得t<-4或t>1即log2x<-4或log2x>1,
即log2x<log2$\frac{1}{16}$或log2x>log22,
解得x<$\frac{1}{16}$或x<2,故解集为{x|x<$\frac{1}{16}$或x<2}

点评本题考查对数函数的图象和性质,涉及换元法和二次函数的最值以及对数不等式的解集,属中档题.

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