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山西省2023-2024学年度八年级第一学期阶段性练习（三）数学试卷答案

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7．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校-年级学生中进行随机抽职了100名学生进行调查．调查结果如表所示：

分析（1）椭圆9x²+4y²=36化为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，设与椭圆有共同焦点的椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{5+k}+\frac{{x}^{2}}{k}$=1（k＞0），把点（2，-3）代入解出即可得出．
（2）设焦点在x轴上时椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），把点$（2，-\sqrt{2}）$和点$（-1，\frac{{\sqrt{14}}}{2}）$代入，解得a²，b²，可得它的标准方程．同理可得焦点在y轴上时椭圆的标准方程．

解答解：（1）椭圆9x²+4y²=36化为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，设与椭圆有共同焦点的椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{5+k}+\frac{{x}^{2}}{k}$=1（k＞0），把点（2，-3）代入可得：$\frac{9}{5+k}+\frac{4}{k}$=1，解得k=10．
∴要求的椭圆方程为：$\frac{{y}^{2}}{15}+\frac{{x}^{2}}{10}=1$．
（2）设焦点在x轴上时椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），把点$（2，-\sqrt{2}）$和点$（-1，\frac{{\sqrt{14}}}{2}）$代入可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{7}{2{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=8，b²=4，可得它的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
同理可得焦点在y轴上时椭圆的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{10}+\frac{{x}^{2}}{5}$=1．

点评本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．